Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras, e quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
|u|=raizu cdot u

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a igualdade |u| = raizu cdot u é sempre verdadeira ou não. Estamos lidando com conceitos de álgebra vetorial, especialmente com o módulo (ou comprimento) de um vetor e o produto escalar. Vamos precisar lembrar como calcular o módulo de um vetor e como funciona o produto escalar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada parte da igualdade representa. O lado esquerdo, |u| , é o módulo do vetor u . Isso significa que é o comprimento desse vetor no espaço.

Passo 3

Agora, o lado direito da igualdade é raizu cdot u . Aqui, temos o produto escalar do vetor u consigo mesmo, ou seja, u cdot u .

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot u . Se u tem componentes (u1, u2, dots, un) , então:
u cdot u = u1^2 + u2^2 + dots + un^2
Isso significa que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é a soma dos quadrados de suas componentes.

Passo 5

Agora, vamos tirar a raiz quadrada disso:
raizu cdot u = raizu1^2 + u2^2 + dots + un^2
Mas isso exatamente corresponde à definição do módulo do vetor u .

Passo 6

Portanto, concluímos que:
|u| = raizu cdot u
É uma igualdade verdadeira em qualquer espaço vetorial, pois ela reflete a definição do módulo de um vetor usando o produto escalar.

Resposta

A igualdade |u| = raizu cdot u é sempre verdadeira.

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