Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras, e quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a igualdade
é sempre verdadeira ou não. Estamos lidando com conceitos de álgebra vetorial, especialmente com o módulo (ou comprimento) de um vetor e o produto escalar. Vamos precisar lembrar como calcular o módulo de um vetor e como funciona o produto escalar para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada parte da igualdade representa. O lado esquerdo,
, é o módulo do vetor
. Isso significa que é o comprimento desse vetor no espaço.
Passo 3
Agora, o lado direito da igualdade é
. Aqui, temos o produto escalar do vetor
consigo mesmo, ou seja,
.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
. Se
tem componentes
, então:
Isso significa que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é a soma dos quadrados de suas componentes.
Passo 5
Agora, vamos tirar a raiz quadrada disso:
Mas isso exatamente corresponde à definição do módulo do vetor
.
Passo 6
Portanto, concluímos que:
É uma igualdade verdadeira em qualquer espaço vetorial, pois ela reflete a definição do módulo de um vetor usando o produto escalar.
Resposta
A igualdade
é sempre verdadeira.