Determine o valor de L para que a função f abaixo seja contínua no ponto dado.
f(x)=llraiz[4]x-1x-1 ; & x>1 raizL x ; & x <= 1 (a=1)

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de L que torna f contínua em a=1, ou seja, precisamos que o limite por x→1⁺ de f(x) seja igual ao valor de f(1) (que vem da parte x≤1). Vamos usar teoria de limite e l’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, calculamos o limite à direita:
Usando l’Hôpital em limxto1^+raiz[4]x-1x-1
Derivando numerador e denominador temos:
limxto1^+14x^-3/41=14

Passo 3

Em x=1 pela definição para x≤1, o valor da função é f(1)= raizLcdot1= raizL.

Passo 4

Para que f seja contínua em 1, igualamos limite à direita e valor em 1:
raizL=14

Passo 5

Resolvendo para L obtemos:
L=l(14r)^2=116

Resposta

L=\tfrac{1}{16}

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