Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se F for um campo vetorial, então \nabla \times \mathbf{F}. também será.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa:
  • Afirmação: “Se \mathbf{F} for um campo vetorial, então \nabla\times\mathbf{F} também será.”
  • Informação dada: \mathbf{F} é um campo vetorial.
  • Pergunta explícita: a operação \nabla\times aplicada a \mathbf{F} produz novamente um campo vetorial?

Passo 2

O que significa “campo vetorial” aqui (definição que vou usar): um campo vetorial é uma função que atribui a cada ponto de um domínio um vetor. No contexto clássico do cálculo vetorial usamos campos vetoriais em \mathbb{R}^3; isto é, um campo vetorial típico tem a forma
\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{F}(x,y,z) = \big(P(x,y,z),\,Q(x,y,z),\,R(x,y,z)\big),
onde P,Q,R são funções escalares do ponto (x,y,z).

Passo 3

O que é o operador rotacional (curl) e quando ele existe: o rotacional \nabla\times é um operador que, para campos vetoriais em \mathbb{R}^3 com componentes diferenciáveis (pelo menos derivadas parciais existentes), produz um triplo de funções formado por combinações das derivadas parciais. A fórmula padrão é
\displaystyle \nabla\times\mathbf{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Cada entrada dessa tupla é uma função do ponto (x,y,z); portanto a expressão acima é outra função que associa a cada ponto um vetor em \mathbb{R}^3. Isso é, por definição, um campo vetorial (desde que as derivadas parciais existam).

Passo 4

Mostrando com um exemplo concreto (para fixar a ideia): tome
\mathbf{F}(x,y,z)=(-y,\;x,\;0).
Então
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0-0=0,
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=0-0=0,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.
Logo
\nabla\times\mathbf{F}=(0,0,2),
que é um campo vetorial constante em \mathbb{R}^3. Exemplo simples que mostra que o resultado do rotacional é de fato um vetor em cada ponto.

Passo 5

Observação importante sobre dimensões e convenções (cuidado comum em provas): o rotacional é uma construção padrão em \mathbb{R}^3. Em \mathbb{R}^2 algumas vezes define-se o “rotacional” de (P,Q) como o escalar \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}; nesse caso o resultado é um campo escalar em \mathbb{R}^2. Porém essa quantidade escalar pode ser interpretada como o componente z do rotacional em \mathbb{R}^3, i.e.
\nabla\times(P,Q,0)=(0,0,\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}).
Portanto, dependendo do contexto (plano versus espaço) a forma como se apresenta o rotacional muda, mas em \mathbb{R}^3 o resultado é um campo vetorial.

Passo 6

Condições para a afirmação ser verdadeira: para que a conclusão " \nabla\times\mathbf{F} também será um campo vetorial" seja válida é preciso que
  • \mathbf{F} esteja definida em um domínio onde o operador \nabla\times faz sentido (tipicamente um subconjunto de \mathbb{R}^3); e
  • as componentes de \mathbf{F} tenham derivadas parciais necessárias (regularidade como C^1, por exemplo), para que as expressões das componentes do rotacional existam. Se essas condições falharem, \nabla\times\mathbf{F} pode não estar definido.

Passo 7

Conclusão interpretada para a afirmação original: se o enunciado está no contexto padrão de cálculo vetorial em \mathbb{R}^3 e presume que \mathbf{F} tem componentes diferenciáveis, então aplicar \nabla\times a \mathbf{F} produz de fato outro campo vetorial. Se o enunciado for vago quanto à dimensão ou à regularidade das componentes, há casos em que a afirmação não vale (por exemplo, se \mathbf{F} estiver apenas em \mathbb{R}^2 e a convenção do texto define o rotacional como escalar, ou se \mathbf{F} não for diferenciável).

Resposta

Verdadeiro, desde que \mathbf{F} seja um campo vetorial definido em um subconjunto de \mathbb{R}^3 com componentes diferenciáveis; nesse caso \nabla\times\mathbf{F} é outro campo vetorial. Caso a dimensão ou a regularidade não sejam as adequadas, a afirmação não vale.

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