Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se F for um campo vetorial, então
. também será.
Se F for um campo vetorial, então
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa:
- Afirmação: “Se
for um campo vetorial, então também será.” - Informação dada:
é um campo vetorial. - Pergunta explícita: a operação
aplicada a produz novamente um campo vetorial?
Passo 2
O que significa “campo vetorial” aqui (definição que vou usar): um campo vetorial é uma função que atribui a cada ponto de um domínio um vetor. No contexto clássico do cálculo vetorial usamos campos vetoriais em
; isto é, um campo vetorial típico tem a forma
onde
são funções escalares do ponto
.
Passo 3
O que é o operador rotacional (curl) e quando ele existe: o rotacional
é um operador que, para campos vetoriais em
com componentes diferenciáveis (pelo menos derivadas parciais existentes), produz um triplo de funções formado por combinações das derivadas parciais. A fórmula padrão é
Cada entrada dessa tupla é uma função do ponto
; portanto a expressão acima é outra função que associa a cada ponto um vetor em
. Isso é, por definição, um campo vetorial (desde que as derivadas parciais existam).
Passo 4
Mostrando com um exemplo concreto (para fixar a ideia): tome
Então
Logo
que é um campo vetorial constante em
. Exemplo simples que mostra que o resultado do rotacional é de fato um vetor em cada ponto.
Passo 5
Observação importante sobre dimensões e convenções (cuidado comum em provas): o rotacional é uma construção padrão em
. Em
algumas vezes define-se o “rotacional” de
como o escalar
; nesse caso o resultado é um campo escalar em
. Porém essa quantidade escalar pode ser interpretada como o componente
do rotacional em
, i.e.
Portanto, dependendo do contexto (plano versus espaço) a forma como se apresenta o rotacional muda, mas em
o resultado é um campo vetorial.
Passo 6
Condições para a afirmação ser verdadeira: para que a conclusão "
também será um campo vetorial" seja válida é preciso que
-
esteja definida em um domínio onde o operador faz sentido (tipicamente um subconjunto de ); e - as componentes de
tenham derivadas parciais necessárias (regularidade como , por exemplo), para que as expressões das componentes do rotacional existam. Se essas condições falharem, pode não estar definido.
Passo 7
Conclusão interpretada para a afirmação original: se o enunciado está no contexto padrão de cálculo vetorial em
e presume que
tem componentes diferenciáveis, então aplicar
a
produz de fato outro campo vetorial. Se o enunciado for vago quanto à dimensão ou à regularidade das componentes, há casos em que a afirmação não vale (por exemplo, se
estiver apenas em
e a convenção do texto define o rotacional como escalar, ou se
não for diferenciável).
Resposta
Verdadeiro, desde que
seja um campo vetorial definido em um subconjunto de
com componentes diferenciáveis; nesse caso
é outro campo vetorial. Caso a dimensão ou a regularidade não sejam as adequadas, a afirmação não vale.