Determine se \mathbf{r}(t) é contínua em t=0. Explique seu raciocínio.
\mathbf{r}(t)=e^{t} \mathbf{i}+\operatorname{cossec} t \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pergunta se \mathbf{r}(t) é contínua em t=0. A função dada é
\mathbf{r}(t)=e^{t}\,\mathbf{i}+\operatorname{cossec} t\,\mathbf{k}.
Informações relevantes que temos:
  • A primeira componente (na direção \mathbf{i}) é e^{t}.
  • A segunda componente (na direção \mathbf{k}) é \operatorname{cossec} t, que corresponde a \csc t=\dfrac{1}{\sin t}.
  • Devemos verificar continuidade em t=0.

Passo 2

Lembrete sobre continuidade de funções vetoriais (explicado passo a passo, sem pressa):
  • Uma função vetorial \mathbf{r}(t)=(r_1(t),r_2(t),r_3(t)) é contínua em t=a se e somente se cada componente r_j(t) for contínua em t=a e o próprio vetor \mathbf{r}(a) estiver definido.
  • Em palavras: é preciso que \mathbf{r}(a) exista (a função esteja definida naquele ponto) e que \lim_{t\to a}\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}(a).
  • Para funções com componentes reais, isso equivale a pedir a continuidade de cada componente separadamente.

Passo 3

Verificação da primeira componente e^{t}:
  • A função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua em todo t\in\mathbb{R}.
  • Em particular, \displaystyle e^{0}=1 e \displaystyle \lim_{t\to0}e^{t}=1.
  • Logo a componente \mathbf{i} não oferece problema de continuidade em t=0.

Passo 4

Análise da componente \operatorname{cossec} t=\csc t=\dfrac{1}{\sin t}:
  • Primeiro ponto: \sin 0=0. Portanto \csc 0=\dfrac{1}{\sin 0} não está definida: a função \csc t não tem valor em t=0. Isso já indica que \mathbf{r}(0) não está bem definida (falta a componente \mathbf{k} em t=0).
  • Mesmo que quiséssemos olhar o limite \lim_{t\to0}\csc t, esse limite não é um número finito. Uma maneira simples de ver isso é usar a aproximação quando t é pequeno: \sin t\sim t, então
\csc t=\frac{1}{\sin t}\sim\frac{1}{t}.
Como \dfrac{1}{t} diverge quando t\to0, espera-se que \csc t também diverja.
  • Podemos ver as limites laterais para ser mais rigoroso:
\lim_{t\to0^+}\csc t=+\infty\quad\text{e}\quad \lim_{t\to0^-}\csc t=-\infty,
porque para t>0 pequeno tem \sin t>0 e para t<0 pequeno tem \sin t<0. Assim os limites laterais não coincidem como números reais — de fato, são infinitos com sinais opostos.
  • Conclusão desta etapa: \lim_{t\to0}\csc t não existe como limite finito (nem mesmo existe um limite finito lateral comum) e \csc 0 não está definida.

Passo 5

Juntando tudo:
  • Para \mathbf{r} ser contínua em t=0 seria necessário que \mathbf{r}(0) existisse e que \lim_{t\to0}\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}(0).
  • Mas \mathbf{r}(0) não existe porque a componente \csc 0 não está definida.
  • Além disso, \lim_{t\to0}\mathbf{r}(t) também não existe em \mathbb{R}^3 (a componente \csc t diverge), então não há como atribuir um valor em t=0 que torne a função contínua ali.

Resposta

Não; \mathbf{r}(t) não é contínua em t=0.

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