Determine se \mathbf{r}(t) é contínua em t=0. Explique seu raciocínio.
\mathbf{r}(t)=e^{t} \mathbf{i}+\operatorname{cossec} t \mathbf{k}
\mathbf{r}(t)=e^{t} \mathbf{i}+\operatorname{cossec} t \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado pergunta se
é contínua em
. A função dada é
Informações relevantes que temos:
- A primeira componente (na direção
) é . - A segunda componente (na direção
) é , que corresponde a . - Devemos verificar continuidade em
.
Passo 2
Lembrete sobre continuidade de funções vetoriais (explicado passo a passo, sem pressa):
- Uma função vetorial
é contínua em se e somente se cada componente for contínua em e o próprio vetor estiver definido. - Em palavras: é preciso que
exista (a função esteja definida naquele ponto) e que . - Para funções com componentes reais, isso equivale a pedir a continuidade de cada componente separadamente.
Passo 3
Verificação da primeira componente
:
- A função exponencial
é contínua em todo . - Em particular,
e . - Logo a componente
não oferece problema de continuidade em .
Passo 4
Análise da componente
:
- Primeiro ponto:
. Portanto não está definida: a função não tem valor em . Isso já indica que não está bem definida (falta a componente em ). - Mesmo que quiséssemos olhar o limite
, esse limite não é um número finito. Uma maneira simples de ver isso é usar a aproximação quando é pequeno: , então
Como
diverge quando
, espera-se que
também diverja.
- Podemos ver as limites laterais para ser mais rigoroso:
porque para
pequeno tem
e para
pequeno tem
. Assim os limites laterais não coincidem como números reais — de fato, são infinitos com sinais opostos.
- Conclusão desta etapa:
não existe como limite finito (nem mesmo existe um limite finito lateral comum) e não está definida.
Passo 5
Juntando tudo:
- Para
ser contínua em seria necessário que existisse e que . - Mas
não existe porque a componente não está definida. - Além disso,
também não existe em (a componente diverge), então não há como atribuir um valor em que torne a função contínua ali.
Resposta
Não;
não é contínua em
.