Determine se \mathbf{r}(t) é contínua em t=0. Explique seu raciocínio.
\mathbf{r}(t)=5 \mathbf{i}-\sqrt{3 t+1} \mathbf{j}+e^{2 t} \mathbf{k}
\mathbf{r}(t)=5 \mathbf{i}-\sqrt{3 t+1} \mathbf{j}+e^{2 t} \mathbf{k}
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se
é contínua em
e explicar o raciocínio.
O enunciado nos dá a função vetorial
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada componente a componente:
- componente em
: , - componente em
: , - componente em
: .
- componente em
- Para a raiz quadrada é necessário que a expressão dentro da raiz seja não negativa, ou seja
(portanto o domínio dessa componente é ). Notei isso a partir da fórmula dada no enunciado. - A pergunta é sobre continuidade em
.
Passo 2
O que significa ser contínua em
: por definição,
é contínua em
se
Para funções vetoriais vale que o limite é tomado componente a componente; isto é,
onde
são as componentes escalares. Logo basta mostrar que cada componente tem limite igual ao seu valor em
.
Passo 3
Calcule primeiro o valor de
(avaliar a função em
). Substituindo
em cada componente:
Agora simplificando os termos dentro das funções:
Passo 4
Analisar a primeira componente
.
- A constante
é contínua em todo . Em particular,
Explicação didática: uma função constante não muda quando
muda, então aproximar
de
deixa a componente igual a
.
Passo 5
Analisar a segunda componente
.
- Primeiro verifiquei o domínio: como comentei no Passo 1, a expressão dentro da raiz exige
, ou seja . O ponto está dentro desse domínio, e existe um intervalo ao redor de onde a função está definida, então faz sentido falar de limite em . - Usar o fato geral (explicado de forma intuitiva): a função linear
é contínua em . A função raiz quadrada é contínua para , em particular em . A composição é então contínua em (se uma função é contínua e outra também no ponto apropriado, a composição é contínua). - Portanto
e multiplicando pelo sinal negativo,
Explicação concreta: pequenas variações de
perto de
fazem
variar pouco perto de
; a raiz de algo próximo de
é próxima de
; portanto a componente tende a
.
Passo 6
Analisar a terceira componente
.
- A função exponencial
é contínua para todo . A função linear é contínua para todo . A composição é, portanto, contínua para todo , em particular em . - Assim
Passo 7
Juntando os resultados das três componentes: cada limite componente a componente existe e é igual ao valor da componente em
. Logo
Portanto
é contínua em
.
Resposta
Sim.
é contínua em
.
.