Determine se \mathbf{r}(t) é contínua em t=0. Explique seu raciocínio.
\mathbf{r}(t)=5 \mathbf{i}-\sqrt{3 t+1} \mathbf{j}+e^{2 t} \mathbf{k}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se \mathbf{r}(t) é contínua em t=0 e explicar o raciocínio.
O enunciado nos dá a função vetorial
\mathbf{r}(t)=5\mathbf{i}-\sqrt{3t+1}\,\mathbf{j}+e^{2t}\mathbf{k}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada componente a componente:
    • componente em \mathbf{i}: 5,
    • componente em \mathbf{j}: -\sqrt{3t+1},
    • componente em \mathbf{k}: e^{2t}.
  • Para a raiz quadrada é necessário que a expressão dentro da raiz seja não negativa, ou seja 3t+1\ge0 (portanto o domínio dessa componente é t\ge -\tfrac{1}{3}). Notei isso a partir da fórmula -\sqrt{3t+1} dada no enunciado.
  • A pergunta é sobre continuidade em t=0.

Passo 2

O que significa ser contínua em t=0: por definição, \mathbf{r} é contínua em t=0 se
\lim_{t\to 0}\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}(0).
Para funções vetoriais vale que o limite é tomado componente a componente; isto é,
\lim_{t\to 0}\mathbf{r}(t) = \Bigl(\lim_{t\to 0} r_1(t)\Bigr)\mathbf{i} + \Bigl(\lim_{t\to 0} r_2(t)\Bigr)\mathbf{j} + \Bigl(\lim_{t\to 0} r_3(t)\Bigr)\mathbf{k},
onde r_1,r_2,r_3 são as componentes escalares. Logo basta mostrar que cada componente tem limite igual ao seu valor em t=0.

Passo 3

Calcule primeiro o valor de \mathbf{r}(0) (avaliar a função em t=0). Substituindo t=0 em cada componente:
\mathbf{r}(0)=5\mathbf{i}-\sqrt{3\cdot 0+1}\,\mathbf{j}+e^{2\cdot 0}\mathbf{k}.
Agora simplificando os termos dentro das funções:
\mathbf{r}(0)=5\mathbf{i}-\sqrt{1}\,\mathbf{j}+e^{0}\mathbf{k}=5\mathbf{i}-1\mathbf{j}+1\mathbf{k}.

Passo 4

Analisar a primeira componente r_1(t)=5.
  • A constante 5 é contínua em todo t. Em particular,
\lim_{t\to 0} r_1(t)=5=r_1(0).
Explicação didática: uma função constante não muda quando t muda, então aproximar t de 0 deixa a componente igual a 5.

Passo 5

Analisar a segunda componente r_2(t)=-\sqrt{3t+1}.
  • Primeiro verifiquei o domínio: como comentei no Passo 1, a expressão dentro da raiz exige 3t+1\ge0, ou seja t\ge -\tfrac{1}{3}. O ponto t=0 está dentro desse domínio, e existe um intervalo ao redor de 0 onde a função está definida, então faz sentido falar de limite em 0.
  • Usar o fato geral (explicado de forma intuitiva): a função linear g(t)=3t+1 é contínua em t=0. A função raiz quadrada h(u)=\sqrt{u} é contínua para u\ge0, em particular em u=1. A composição h(g(t))=\sqrt{3t+1} é então contínua em t=0 (se uma função é contínua e outra também no ponto apropriado, a composição é contínua).
  • Portanto
\lim_{t\to 0}\sqrt{3t+1}=\sqrt{1}=1,
e multiplicando pelo sinal negativo,
\lim_{t\to 0} r_2(t)=\lim_{t\to 0}\bigl(-\sqrt{3t+1}\bigr)=-1=r_2(0).
Explicação concreta: pequenas variações de t perto de 0 fazem 3t+1 variar pouco perto de 1; a raiz de algo próximo de 1 é próxima de 1; portanto a componente tende a -1.

Passo 6

Analisar a terceira componente r_3(t)=e^{2t}.
  • A função exponencial e^x é contínua para todo x. A função linear 2t é contínua para todo t. A composição e^{2t} é, portanto, contínua para todo t, em particular em t=0.
  • Assim
\lim_{t\to 0} r_3(t)=\lim_{t\to 0} e^{2t}=e^{0}=1=r_3(0).

Passo 7

Juntando os resultados das três componentes: cada limite componente a componente existe e é igual ao valor da componente em t=0. Logo
\lim_{t\to 0}\mathbf{r}(t)=\lim_{t\to 0} \bigl(r_1(t)\mathbf{i}+r_2(t)\mathbf{j}+r_3(t)\mathbf{k}\bigr) = r_1(0)\mathbf{i}+r_2(0)\mathbf{j}+r_3(0)\mathbf{k} =\mathbf{r}(0).
Portanto \mathbf{r} é contínua em t=0.

Resposta

Sim. \mathbf{r} é contínua em t=0. \mathbf{r}(0)=5\mathbf{i}-1\mathbf{j}+1\mathbf{k}.

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