Confirme que \varphi é uma função potencial de \mathbf{F}(\mathbf{r}) em alguma região e determine a região.
\varphi(x, y, z)=x \operatorname{sen} z+y \operatorname{sen} x+z \operatorname{sen} y
\begin{aligned} \mathbf{F}(x, y, z)=(\operatorname{sen} z+y \cos x) \mathbf{i} & +(\operatorname{sen} x+z \cos y) \mathbf{j} \\\ & +(\operatorname{sen} y+x \cos z) \mathbf{k} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A função candidata a potencial é \varphi(x,y,z)=x\sin z+y\sin x+z\sin y.
  • O campo vetorial é
\mathbf{F}(x,y,z)=(\sin z+y\cos x)\,\mathbf{i}+(\sin x+z\cos y)\,\mathbf{j}+(\sin y+x\cos z)\,\mathbf{k}.
  • Pergunta: confirmar se \varphi é uma função potencial de \mathbf{F} em alguma região e determinar qual é essa região.

Passo 2

O que significa “função potencial”: uma função \varphi é potencial de \mathbf{F} numa região se o gradiente de \varphi for igual a \mathbf{F} em toda essa região. Em fórmulas:
\mathbf{F}=\nabla\varphi
isto é, os componentes do campo devem ser as derivadas parciais de \varphi:
F_x=\frac{\partial\varphi}{\partial x},\qquad F_y=\frac{\partial\varphi}{\partial y},\qquad F_z=\frac{\partial\varphi}{\partial z}.
Vou então calcular as derivadas parciais de \varphi e comparar com os componentes de \mathbf{F}.

Passo 3

Lembrete rápido sobre derivadas parciais (didático): para calcular \partial\varphi/\partial x tratamos y e z como constantes e derivamos só em relação a x. Mesma ideia para as outras variáveis. As derivadas básicas que vamos usar:
  • \dfrac{d}{dx}(x)=1,
  • \dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x,
  • constantes multiplicadas passam como fator.
Agora calculemos cada parcial com calma.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}:
\varphi(x,y,z)=x\sin z+y\sin x+z\sin y.
  • Derivando termo a termo em relação a x:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x\sin z)=\sin z pois \sin z é tratado como constante em relação a x.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(y\sin x)=y\cos x pois y é constante e \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(z\sin y)=0 pois não depende de x.
      Portanto
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\sin z+y\cos x.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x\sin z)=0 (não depende de y).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y\sin x)=\sin x (derivada de y é 1, \sin x é constante).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(z\sin y)=z\cos y (derivada de \sin y é \cos y e z é constante).
    Portanto
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\sin x+z\cos y.

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial\varphi}{\partial z}:
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(x\sin z)=x\cos z.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(y\sin x)=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(z\sin y)=\sin y (derivada de z é 1, \sin y é constante).
    Portanto
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=x\cos z+\sin y.

Passo 7

Comparação com os componentes de \mathbf{F}:
  • Componente i de \mathbf{F} é \sin z+y\cos x, que coincide com \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}.
  • Componente j de \mathbf{F} é \sin x+z\cos y, que coincide com \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}.
  • Componente k de \mathbf{F} é \sin y+x\cos z, que coincide com \dfrac{\partial\varphi}{\partial z}.
    Logo \nabla\varphi=\mathbf{F} ponto a ponto onde as derivadas existem.

Passo 8

Sobre a região onde isto vale:
  • As funções \sin e \cos são indefinidamente diferenciáveis em toda \mathbb{R}. Assim \varphi é diferenciável em todo o espaço \mathbb{R}^3 e as derivadas parciais calculadas existem e são contínuas em \mathbb{R}^3.
  • Portanto a igualdade \nabla\varphi=\mathbf{F} vale em toda \mathbb{R}^3.
  • Observação extra (útil na prova): como existe uma função \varphi cujo gradiente é \mathbf{F} em \mathbb{R}^3, o campo é conservativo e tem campo rotacional nulo ( \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}) em \mathbb{R}^3. Pode-se verificar isso calculando as derivadas mistas e vendo que elas se anulam, mas não é necessário aqui porque já mostramos explicitamente \mathbf{F}=\nabla\varphi.

Passo 9

Resumo final e conclusão direta: a função dada é de fato uma potencial de \mathbf{F}, e isso é válido em toda a região \mathbb{R}^3, que é aberta e simplesmente conexa (portanto adequada para campos conservativos).

Resposta

Sim. \varphi é função potencial de \mathbf{F} e a igualdade \mathbf{F}=\nabla\varphi vale em toda \mathbb{R}^3.

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