Confirme que
é uma função potencial de
em alguma região e determine a região.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- A função candidata a potencial é
. - O campo vetorial é
- Pergunta: confirmar se
é uma função potencial de em alguma região e determinar qual é essa região.
Passo 2
O que significa “função potencial”: uma função
é potencial de
numa região se o gradiente de
for igual a
em toda essa região. Em fórmulas:
isto é, os componentes do campo devem ser as derivadas parciais de
:
Vou então calcular as derivadas parciais de
e comparar com os componentes de
.
Passo 3
Lembrete rápido sobre derivadas parciais (didático): para calcular
tratamos
e
como constantes e derivamos só em relação a
. Mesma ideia para as outras variáveis. As derivadas básicas que vamos usar:
-
, -
, - constantes multiplicadas passam como fator.
Agora calculemos cada parcial com calma.
Passo 4
Cálculo de
:
- Derivando termo a termo em relação a
: -
pois é tratado como constante em relação a . -
pois é constante e . -
pois não depende de .
Portanto
-
Passo 5
Cálculo de
:
-
(não depende de ). -
(derivada de é , é constante). -
(derivada de é e é constante).
Portanto
Passo 6
Cálculo de
:
-
. -
. -
(derivada de é , é constante).
Portanto
Passo 7
Comparação com os componentes de
:
- Componente
de é , que coincide com . - Componente
de é , que coincide com . - Componente
de é , que coincide com .
Logoponto a ponto onde as derivadas existem.
Passo 8
Sobre a região onde isto vale:
- As funções
e são indefinidamente diferenciáveis em toda . Assim é diferenciável em todo o espaço e as derivadas parciais calculadas existem e são contínuas em . - Portanto a igualdade
vale em toda . - Observação extra (útil na prova): como existe uma função
cujo gradiente é em , o campo é conservativo e tem campo rotacional nulo ( ) em . Pode-se verificar isso calculando as derivadas mistas e vendo que elas se anulam, mas não é necessário aqui porque já mostramos explicitamente .
Passo 9
Resumo final e conclusão direta: a função dada é de fato uma potencial de
, e isso é válido em toda a região
, que é aberta e simplesmente conexa (portanto adequada para campos conservativos).
Resposta
Sim.
é função potencial de
e a igualdade
vale em toda
.