Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique sua resposta. Caso contrário, explique o por quê ou dê um contra-exemplo.
Se
é a porção da esfera unitária que está no primeiro octante, então
Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, para a porção E da esfera unitária no primeiro octante, vale a igualdade
O conteúdo envolve a descrição da região E em coordenadas cartesianas e a montagem de um integral triplo.
Passo 2
Para expressar corretamente o integral sobre E em coordenadas cartesianas, note que E é
A projeção de E no plano xy é o quarto de disco de raio 1, logo para cada x fixo em [0,1], y varia de 0 até
, e então z vai de 0 até
. Assim o integral correto seria
Passo 3
Comparando com a expressão dada, vemos dois problemas: (1) faltou incluir
dentro do integrando do lado direito; (2) o limite superior de y não pode ser 1 — ele depende de x e é
, não uma constante.
Passo 4
Como contra-exemplo, escolha
. Então o lado esquerdo é simplesmente o volume de E,
Já o integral proposto é mal definido — ele tenta integrar em y até 1 mesmo quando
e omite o integrando f — e portanto não fornece
.
Resposta
A afirmação é falsa. Os limites de y devem ser de 0 a
(e não até 1), e falta incluir
no integrando.