Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique sua resposta. Caso contrário, explique o por quê ou dê um contra-exemplo.
Se E é a porção da esfera unitária que está no primeiro octante, então
integral triplaE f(x, y, z) d V=integral0^1 integral0^1 integral0^raiz1-x^2-y^2 d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, para a porção E da esfera unitária no primeiro octante, vale a igualdade
integral triplaE f(x,y,z),dV =integral0^1integral0^1integral0^raiz1-x^2-y^2dz,dy,dx
O conteúdo envolve a descrição da região E em coordenadas cartesianas e a montagem de um integral triplo.

Passo 2

Para expressar corretamente o integral sobre E em coordenadas cartesianas, note que E é
E=(x,y,z)mid x>=0,;y>=0,;z>=0,;x^2+y^2+z^2<=1
A projeção de E no plano xy é o quarto de disco de raio 1, logo para cada x fixo em [0,1], y varia de 0 até raiz1-x^2, e então z vai de 0 até raiz1-x^2-y^2. Assim o integral correto seria
integral triplaEf(x,y,z),dV =integralx=0^1integraly=0^raiz1-x^2integralz=0^raiz1-x^2-y^2f(x,y,z),dz,dy,dx

Passo 3

Comparando com a expressão dada, vemos dois problemas: (1) faltou incluir f(x,y,z) dentro do integrando do lado direito; (2) o limite superior de y não pode ser 1 — ele depende de x e é raiz1-x^2, não uma constante.

Passo 4

Como contra-exemplo, escolha f(x,y,z)=1. Então o lado esquerdo é simplesmente o volume de E,
Vol(E)=tfrac18cdottfrac4pi3=pi6
Já o integral proposto é mal definido — ele tenta integrar em y até 1 mesmo quando x^2+y^2>1 e omite o integrando f — e portanto não fornece pi/6.

Resposta

A afirmação é falsa. Os limites de y devem ser de 0 a raiz1-x^2 (e não até 1), e falta incluir f(x,y,z) no integrando.

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