Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique sua resposta. Caso contrário, explique o por quê ou dê um contra-exemplo.
Suponha que em alguma região retangular
do plano xy tenhamos
0 , então existem duas regiões quaisquer
e
, onde
tais que:
.
Suponha que em alguma região retangular
Passo 1
Resumo: A afirmação diz que, se em um retângulo R temos
e particionamos R em duas sub-regiões disjuntas
e
com
, então os integras sobre essas sub-regiões se cancelam, ou seja,
. O conteúdo principal é a propriedade de aditividade da integral dupla.
Passo 2
Aditividade da integral dupla: quando
e
são disjuntas e
, vale
Passo 3
Como temos
, da aditividade segue imediatamente
Passo 4
Esse passo mostra exatamente a afirmação exigida, usando apenas a soma das integrais sobre partes disjuntas de R.
Resposta
Verdadeira, pois a integral dupla sobre regiões disjuntas é aditiva e, se a soma das duas integrais é zero, cada uma é o oposto da outra.