Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique sua resposta. Caso contrário, explique o por quê ou dê um contra-exemplo.
Suponha que em alguma região retangular R do plano xy tenhamos integral duplaR f(x, y) d A= 0 , então existem duas regiões quaisquer R1 e R2, onde R1 cup R2=R tais que: integral duplaR1 f(x, y) d A=-integral duplaR2 f(x, y) d A.

Passo 1

Resumo: A afirmação diz que, se em um retângulo R temos integral duplaR f(x,y),dA=0 e particionamos R em duas sub-regiões disjuntas R1 e R2 com R1cup R2=R, então os integras sobre essas sub-regiões se cancelam, ou seja, integral duplaR1f,dA=-integral duplaR2f,dA. O conteúdo principal é a propriedade de aditividade da integral dupla.

Passo 2

Aditividade da integral dupla: quando R1 e R2 são disjuntas e R1cup R2=R, vale
integral duplaR f(x,y),dA ,=,integral duplaR1f(x,y),dA ,+,integral duplaR2f(x,y),dA

Passo 3

Como temos integral duplaR f,dA=0, da aditividade segue imediatamente
0 = integral duplaR1f,dA + integral duplaR2f,dALongrightarrow integral duplaR1f,dA = -integral duplaR2f,dA

Passo 4

Esse passo mostra exatamente a afirmação exigida, usando apenas a soma das integrais sobre partes disjuntas de R.

Resposta

Verdadeira, pois a integral dupla sobre regiões disjuntas é aditiva e, se a soma das duas integrais é zero, cada uma é o oposto da outra.

Exercícios relacionados