Um fabricante de embalagens deve fabricar um lote de caixas retangulares de volume V=64 cm^3.Se o custo do material usado na fabricação da caixa é de R por centímetro quadrado, determinar as dimensões da caixa que tornem mínimo o custo do material usado em sua fabricação. Qual o valor gasto?

Passo 1

Então, você quer descobrir quais são as dimensões de uma caixa retangular que tenha um volume de e que minimize o custo do material usado na fabricação. Basicamente, estamos lidando com um problema de otimização na geometria, usando conceitos de cálculo para encontrar o mínimo da área superficial, que está diretamente relacionado ao custo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar o comprimento de V = x times y times z = 64 cm, a largura de cm e a altura de cm. Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Queremos minimizar o custo, que depende da área superficial da caixa.

Passo 3

A área superficial A = 2xy + 2xz + 2yz de uma caixa retangular é dada por:
Como o custo é de R$0,50 por cm², nosso objetivo é minimizar .

Passo 4

Vamos expressar uma das variáveis em função das outras usando o volume. Por exemplo, podemos isolar z = 64xy :
A = 2xy + 2x(64xy) + 2y(64xy) = 2xy + 128y + 128x
Substituindo isso na fórmula da área superficial:
Para simplificar, vamos assumir que a caixa seja um cubo, já que caixas com dimensões iguais geralmente minimizam a área superficial para um dado volume.

Passo 5

Se a caixa é um cubo, então x^3 = 64 implies x = 4, cm . Substituindo na equação do volume:
Portanto, todas as dimensões são 4 cm.

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam o custo são 4 cm de comprimento, 4 cm de largura e 4 cm de altura. A área superficial da caixa é:
A = 6 times (4)^2 = 96, cm^2
O custo total é:
96, cm^2 times R$0,50/cm^2 = R$48,00

Exercícios relacionados