Um fabricante de embalagens deve fabricar um lote de caixas retangulares de volume
.Se o custo do material usado na fabricação da caixa é de
por centímetro quadrado, determinar as dimensões da caixa que tornem mínimo o custo do material usado em sua fabricação. Qual o valor gasto?
Passo 1
Então, você quer descobrir quais são as dimensões de uma caixa retangular que tenha um volume de
e que minimize o custo do material usado na fabricação. Basicamente, estamos lidando com um problema de otimização na geometria, usando conceitos de cálculo para encontrar o mínimo da área superficial, que está diretamente relacionado ao custo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar o comprimento de
cm, a largura de
cm e a altura de
cm. Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Queremos minimizar o custo, que depende da área superficial da caixa.
Passo 3
A área superficial
de uma caixa retangular é dada por:
Como o custo é de R$0,50 por cm², nosso objetivo é minimizar
.
Passo 4
Vamos expressar uma das variáveis em função das outras usando o volume. Por exemplo, podemos isolar
:
Substituindo isso na fórmula da área superficial:
Para simplificar, vamos assumir que a caixa seja um cubo, já que caixas com dimensões iguais geralmente minimizam a área superficial para um dado volume.
Passo 5
Se a caixa é um cubo, então
. Substituindo na equação do volume:
Portanto, todas as dimensões são 4 cm.
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam o custo são 4 cm de comprimento, 4 cm de largura e 4 cm de altura. A área superficial da caixa é:
O custo total é: