Determine se a afirmação é fal sa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
e
forem soluções de
, então
também é uma solução da equação.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas duas funções
e
que satisfazem a equação diferencial homogênea
a soma
também satisfaz essa mesma equação. O conteúdo aqui é a linearidade de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Para ver se
é solução, basta substituir na equação. Primeiro calculamos a segunda derivada de
:
Passo 3
Agora substituímos
e
em
:
Passo 4
Como
e
são soluções, temos
Somando essas duas igualdades, obtemos
ou seja,
Passo 5
Portanto, a soma
satisfaz a equação diferencial original. Isto ilustra o princípio da superposição para equações diferenciais lineares homogêneas.
Resposta
A afirmação é verdadeira, pois a equação é linear e homogênea, permitindo que a soma de duas soluções também seja solução.