Determine se a afirmação é fal sa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se y1 e y2 forem soluções de y^prime prime+y=0, então y1+y2 também é uma solução da equação.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas funções y1 e y2 que satisfazem a equação diferencial homogênea
y'' + y = 0,
a soma y = y1 + y2 também satisfaz essa mesma equação. O conteúdo aqui é a linearidade de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Para ver se y=y1+y2 é solução, basta substituir na equação. Primeiro calculamos a segunda derivada de y:
y'' = (y1 + y2)'' = y1'' + y2''

Passo 3

Agora substituímos y e y'' em y''+y:
y'' + y = (y1'' + y2'') + (y1 + y2)

Passo 4

Como y1 e y2 são soluções, temos
y1'' + y1 = 0 e y2'' + y2 = 0
Somando essas duas igualdades, obtemos
(y1'' + y2'') + (y1 + y2) = 0 + 0 = 0,
ou seja,
y'' + y = 0

Passo 5

Portanto, a soma y1 + y2 satisfaz a equação diferencial original. Isto ilustra o princípio da superposição para equações diferenciais lineares homogêneas.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois a equação é linear e homogênea, permitindo que a soma de duas soluções também seja solução.

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