Resolva o problema de valor inicial.
9 y^prime prime+y=3 x+e^-x, y(0)=1, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
9,y'' + y = 3x + e^-x,
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=2.
Conteúdo: resolução de EDO não homogênea por somatório da solução geral do homogêneo e de uma particular, depois aplicação das condições iniciais.

Passo 2

Determinamos a solução geral do homogêneo associado
9,y'' + y = 0
A equação característica é
9r^2 + 1 = 0 Longrightarrow r = pm i3
Logo
yh(x) = C1 cos!l(tfracx3r) + C2 sin!l(tfracx3r)

Passo 3

Procuramos uma solução particular yp para o termo não homogêneo 3x + e^-x.
  1. Para 3x usamos tentativa polinomial yp1 = A x + B. Então yp1''=0 e
9cdot0 + (A x + B) = 3x Longrightarrow A=3,;B=0
  1. Para e^-x usamos yp2=C e^-x. Então yp2''=C e^-x e
9,(C e^-x) + C e^-x = 10C e^-x = e^-x Longrightarrow C=tfrac110
Assim
yp(x) = 3x + tfrac110e^-x

Passo 4

A solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 cos!l(tfracx3r) + C2 sin!l(tfracx3r) + 3x + tfrac110e^-x
Derivando,
y'(x) = -C13sin!l(tfracx3r) +C23cos!l(tfracx3r) +3 - tfrac110e^-x

Passo 5

Aplicamos y(0)=1 e y'(0)=2:
y(0)=C1 + 0 + 0 + tfrac110 = 1 Longrightarrow C1 = tfrac910,
y'(0)=0 + tfracC23 + 3 - tfrac110 = 2 Longrightarrow tfracC23 = -tfrac910 Longrightarrow C2 = -tfrac2710

Resposta

y(x) = 910cos!l(tfracx3r) - 2710sin!l(tfracx3r) + 3x + 110e^-x

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