Seja r a reta de equação 3 y-2 x-4=0.
a) Determine a equação da reta s, paralela a r e que passa pela origem .
b) Encontre a reta t, perpendicular a r e que passa pelo ponto P(0,5).
c) Encontre o ponto Q(x, y) de interseção entre as retas r e t.
d) Faça um esboço das retas r, s e t.

Passo 1

O enunciado dá a reta r com equação
3y - 2x - 4 = 0
Vamos usar o conceito de coeficiente angular (inclinação) de retas no plano: uma reta na forma y=mx+b tem coeficiente angular m. Para retas paralelas, os coeficientes angulares coincidem; para retas perpendiculares, o coeficiente angular é o negativo do inverso. Também resolveremos um sistema para achar o ponto de interseção e usaremos interceptos para o esboço.

Passo 2

Reescrevemos r na forma explícita para identificar o coeficiente angular:
3y = 2x + 4
y = 23x + 43
Logo o coeficiente angular de r é
mr = tfrac23

Passo 3

A reta s deve ser paralela a r, então ms = mr = tfrac23, e passa pela origem (0,0). Na forma y=mx+b temos
y = tfrac23x + b
Como passa por (0,0), vem 0 = tfrac23cdot0 + b, logo b=0. Assim
(a) s:; y = tfrac23x

Passo 4

A reta t deve ser perpendicular a r, então
mt = -1mr = -32,
e passa por P(0,5). Usando a forma ponto-inclinação:
y - 5 = -32(x - 0),
logo
(b) t:; y = -32x + 5

Passo 5

Para achar Q(x,y), interseção de r e t, resolvemos
3y - 2x - 4 = 0, y = -tfrac32x + 5
Substituindo da segunda na primeira:
3l(-tfrac32x + 5r)-2x-4=0 ;Longrightarrow; -tfrac92x+15-2x-4=0 ;Longrightarrow; -tfrac132x+11=0 ;Longrightarrow; x=tfrac2213
Então
y=-tfrac32cdottfrac2213+5 =-tfrac3313+tfrac6513 =tfrac3213
Logo
(c) Ql(tfrac2213,tfrac3213r)

Passo 6

Para o esboço:
  • A reta r intercepta o eixo y em (0,tfrac43) e o eixo x em (-2,0).
  • A reta s passa pela origem e sobe com inclinação tfrac23.
  • A reta t passa por (0,5) e desce com inclinação -tfrac32.
    No gráfico as três formam um triângulo retângulo, com vértice de reto em Q.

Resposta

(a) s:;y = tfrac23x\n
(b) t:;y = -tfrac32x + 5\n
(c) Ql(tfrac2213,,tfrac3213r)\n
(d) Esboço conforme descrito:
r passa por (-2,0) e (0,4/3).
s passa por (0,0) com inclinação 2/3.
t passa por (0,5) com inclinação -3/2.

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