Determine se a afirmação é fal sa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
A solução geral de y^prime prime-y=0 pode ser escrita como
y=c1 cosh x+c2 senh x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = 0
O conteúdo aqui é resolver pelo método da equação característica e depois dar a forma em termos de funções hiperbólicas.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 - 1 = 0
cuja solução é
r = 1, r = -1
Portanto a solução geral em termos de exponenciais é
y = A e^x + B e^-x,
onde A e B são constantes arbitrárias.

Passo 3

Definimos as funções hiperbólicas por
cosh x = e^x + e^-x2, sinh x = e^x - e^-x2
Daí
A e^x + B e^-x = (A+B)cosh x + (A - B)sinh x
Bastando escolher c1 = A+B e c2 = A - B obtemos
y = c1cosh x + c2sinh x

Passo 4

Como cosh x e sinh x são soluções independentes de y''-y=0, qualquer solução geral pode ser escrita como combinação linear delas. Assim a forma dada é equivalente à forma exponencial.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

Exercícios relacionados