Determine se a afirmação é fal sa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
A equação y^prime prime-y=e^x tem uma solução particular da forma
yp=A e^x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
y'' - y = e^x
admite uma solução particular da forma
yp = A e^x
O conteúdo é ODE linear de segunda ordem com termo não-homogêneo, e vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Suponha yp=A e^x. Então
yp'=A e^x, yp''=A e^x
Substituindo em y''-y vem
yp''-yp = A e^x - A e^x = 0,
que não pode ser igual a e^x para nenhum valor de A.

Passo 3

Como para todo A temos yp''-yp=0neq e^x, não existe nenhuma constante A que torne yp=A e^x solução particular. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa, pois ao substituir yp=A e^x obtém‐se sempre yp''-yp=0, nunca e^x.

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