Dizer se são convergentes ou divergentes as séries:
sumn=1^+infty 3 n+2n^x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^+infty3n+2n^x
é convergente ou divergente, em função do parâmetro real x. O conteúdo principal aqui é o estudo de séries de potências do tipo “p-série” e o critério de comparação com séries conhecidas.

Passo 2

Vamos separar a soma em duas parcelas mais simples, usando a linearidade:
sumn=1^+infty3n+2n^x =sumn=1^+infty3nn^x+sumn=1^+infty2n^x =3sumn=1^+inftyn^,1-x+2sumn=1^+inftyn^-x

Passo 3

Recordando que a p-série
sumn=1^inftyn^-p
converge se, e somente se, p>1, identificamos nos dois termos acima:
  • No primeiro termo, o expoente é p1 = x-1, pois n^1-x=n^- (x-1).
  • No segundo termo, o expoente é p2 = x, pois n^-x é já da forma n^-p2.

Passo 4

Para que ambas as séries convirjam, precisamos
p1>1 e p2>1,
isto é,
x-1>1 Longrightarrow x>2 e x>1
Como x>2 já implica x>1, a condição final de convergência é x>2.

Resposta

A série sumn=1^infty3n+2n^x converge se, e somente se, x>2; diverge para todos os x<=2.

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