Dizer se são convergentes ou divergentes as séries:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente, em função do parâmetro real
. O conteúdo principal aqui é o estudo de séries de potências do tipo “p-série” e o critério de comparação com séries conhecidas.
Passo 2
Vamos separar a soma em duas parcelas mais simples, usando a linearidade:
Passo 3
Recordando que a p-série
converge se, e somente se, , identificamos nos dois termos acima:
converge se, e somente se,
- No primeiro termo, o expoente é
, pois . - No segundo termo, o expoente é
, pois é já da forma .
Passo 4
Para que ambas as séries convirjam, precisamos
isto é,
Como
já implica
, a condição final de convergência é
.
Resposta
A série
converge se, e somente se,
; diverge para todos os
.