Utilize a soma dos primeiros dez termos para aproximar a soma da série
sumn=1^infty n2^n
Use o Exercício 38 para estimar o erro.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a soma da série
sumn=1^inftyn2^n
usando a soma dos primeiros 10 termos e, em seguida, estimar o erro dessa aproximação com base no resultado do Exercício 38 (que fornece a fórmula do resto RN=sumn=N+1^infty n x^n para uma série do tipo sum n x^n).
Conteúdo aplicado: soma parcial de séries da forma sum n x^n e fórmula do resto.

Passo 2

Lembramos que, para |x|<1, a soma total é
sumn=1^inftyn,x^n=x(1-x)^2,
mas vamos mesmo assim calcular a soma parcial
S10=sumn=1^10n2^n
Fazendo termo a termo:
S10&=12+22^2+32^3+cdots+102^10 &=0,5+0,5+0,375+0,25+0,15625+0,09375+0,0546875+0,03125+0,017578125+0,009765625 &=1,98828125

Passo 3

O Exercício 38 mostra que, para a série sum n x^n, o resto após N termos vale
RN=sumn=N+1^infty n,x^n =x^N+1l(N(1-x)+1r)(1-x)^2
No nosso caso x=tfrac12 e N=10, de onde
R10 =l(tfrac12r)^11l(10,(1-tfrac12)+1r)(1-tfrac12)^2 =(tfrac12)^11(5+1)(tfrac12)^2 =62^11cdot4 =122^10 =121024 approx0,01171875

Passo 4

Portanto, a soma infinita vale
sumn=1^inftyn2^n =S10+R10 approx1,98828125+0,01171875=2,
mas, se quisermos só a aproximação pela soma dos 10 primeiros termos, temos
;S10approx1,98828
e o erro máximo de truncamento fica
;R10<0,01172.

Resposta

Aproximação pela soma dos 10 primeiros termos:
sumn=1^inftyn2^n approx1,98828,
com erro estimado
R10<0,01172

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