Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. (Vale 1,5 cada item)
Se f tiver um valor mínimo absoluto em c, então f^prime(c)=0.

Passo 1

O enunciado pergunta se um ponto de mínimo absoluto sempre implica que a derivada ali seja zero, ou seja, se ter valor mínimo absoluto em c garante que f'(c)=0. Vamos usar teoria de pontos extremos e dar um contraexemplo.

Passo 2

O Teorema de Fermat diz que, se f é diferenciável em um ponto interior c de seu domínio e c é um extremo local, então f'(c)=0. Esse resultado não cobre extremos absolutos em pontos de fronteira do domínio.

Passo 3

Considere, por exemplo, a função f:[0,1]toR dada por f(x)=x. Ela é diferenciável em todo o intervalo e tem mínimo absoluto em c=0, pois f(0)=0 é o menor valor que f assume.

Passo 4

No entanto, a derivada é f'(x)=1 para todo x, logo em particular f'(0)=1neq0. Isso mostra que o mínimo absoluto em um ponto de fronteira não força f'(c)=0.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é f(x)=x em [0,1]: o mínimo absoluto ocorre em c=0, mas f'(0)=1neq0.

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