Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. (Vale 1,5 cada item)
Se
tiver um valor mínimo absoluto em
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se um ponto de mínimo absoluto sempre implica que a derivada ali seja zero, ou seja, se ter valor mínimo absoluto em c garante que
. Vamos usar teoria de pontos extremos e dar um contraexemplo.
Passo 2
O Teorema de Fermat diz que, se
é diferenciável em um ponto interior
de seu domínio e
é um extremo local, então
. Esse resultado não cobre extremos absolutos em pontos de fronteira do domínio.
Passo 3
Considere, por exemplo, a função
dada por
. Ela é diferenciável em todo o intervalo e tem mínimo absoluto em
, pois
é o menor valor que
assume.
Passo 4
No entanto, a derivada é
para todo
, logo em particular
. Isso mostra que o mínimo absoluto em um ponto de fronteira não força
.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é
em
: o mínimo absoluto ocorre em
, mas
.