Mostre que
Se a>1, então lim n infty raiz[n]a=1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que, se , então o limite de quando tende ao infinito é igual a 1. Aqui estamos lidando com limites e radiciação. Para resolver isso, vamos usar propriedades de limites e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão raiz[n]a = a^1n de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Sabemos que:
Isso significa que estamos elevando a uma potência que depende de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de limn to infty a^1n = limn to infty e^ln(a)n quando limn to infty e^ln(a)n = e^0 = 1 cresce sem limites. Como , é positivo. Podemos escrever:
Sabemos que, conforme tende ao infinito, tende a 0. Portanto:

Resposta

Portanto, se , então .

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