Defina a sequência
Verifique que
é uma sequência monótona e que
para todo
. Conclua que
é convergente e calcule o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência onde o primeiro termo é
, e cada termo seguinte é dado por
para
. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência é monótona (ou seja, sempre cresce ou sempre diminui) e que todos os termos
são menores ou iguais a 4. Depois, vamos concluir que a sequência converge (ou seja, tem um limite) e encontrar esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se todos os termos da sequência são menores ou iguais a 4. Sabemos que
, que é menor que 4. Agora, vamos assumir que
e ver o que acontece com
:
Como
e
(porque estamos dividindo por
), então
. Assim:
Portanto, se
, então
. Como começamos com
, por indução, todos os termos da sequência são menores ou iguais a 4.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a sequência é monótona. Vamos ver se ela está aumentando ou diminuindo. Calculando o próximo termo a partir de
:
Comparando com
, vemos que
.
Vamos calcular
:
Agora,
. Parece que a sequência está aumentando. Para confirmar, suponha que
. Então:
Isso mostra que, se um termo é maior que o anterior, o próximo também será maior. Assim, a sequência é monótona crescente.
Passo 4
Sabemos que uma sequência que é monótona e está limitada (neste caso, limitada acima por 4) é convergente. Portanto, nossa sequência
converge para algum limite
.
Passo 5
Para encontrar o limite
, usamos a relação de recorrência da sequência. Sabemos que, se
converge para
, então
também converge para
. Então, substituímos na equação:
Agora, vamos resolver essa equação para
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
. Como nossa sequência é crescente e o primeiro termo é 2, o limite não pode ser 1. Portanto, o limite é 4.
Resposta
A sequência
é monótona crescente, está limitada por 4 e, portanto, converge para o limite
.