Defina a sequência
a1=2 e an+1=5-4an para n >= 2
Verifique que ann=1^infty é uma sequência monótona e que an <= 4 para todo n in N. Conclua que ann=1^infty é convergente e calcule o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência onde o primeiro termo é , e cada termo seguinte é dado por para . Nosso objetivo é mostrar que essa sequência é monótona (ou seja, sempre cresce ou sempre diminui) e que todos os termos são menores ou iguais a 4. Depois, vamos concluir que a sequência converge (ou seja, tem um limite) e encontrar esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se todos os termos da sequência são menores ou iguais a 4. Sabemos que an+1 = 5 - 4an , que é menor que 4. Agora, vamos assumir que an+1 = 5 - 4an <= 5 - 1 = 4 e ver o que acontece com :
Como e (porque estamos dividindo por ), então . Assim:
Portanto, se , então . Como começamos com , por indução, todos os termos da sequência são menores ou iguais a 4.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que a sequência é monótona. Vamos ver se ela está aumentando ou diminuindo. Calculando o próximo termo a partir de a2 = 5 - 42 = 5 - 2 = 3 :
a3 = 5 - 43 approx 5 - 1,333 = 3,666
Comparando com an+2 = 5 - 4an+1 > 5 - 4an = an+1 , vemos que .
Vamos calcular :
Agora, . Parece que a sequência está aumentando. Para confirmar, suponha que . Então:
Isso mostra que, se um termo é maior que o anterior, o próximo também será maior. Assim, a sequência é monótona crescente.

Passo 4

Sabemos que uma sequência que é monótona e está limitada (neste caso, limitada acima por 4) é convergente. Portanto, nossa sequência converge para algum limite .

Passo 5

Para encontrar o limite L = 5 - 4L , usamos a relação de recorrência da sequência. Sabemos que, se L = 5 - 4L L + 4L = 5 L^2 + 4L = 5 L^2 + 4 = 5L L^2 - 5L + 4 = 0 converge para L = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32 , então também converge para . Então, substituímos na equação:
Agora, vamos resolver essa equação para :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou . Como nossa sequência é crescente e o primeiro termo é 2, o limite não pode ser 1. Portanto, o limite é 4.

Resposta

A sequência é monótona crescente, está limitada por 4 e, portanto, converge para o limite .

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