Determine se a sequência
é convergente ou divergente. Em caso de convergência, determine o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a sequência $ {a_n} $ converge ou diverge. Se ela convergir, temos que achar o limite. A sequência dada é $ a_n = \frac{n!}{10^{6n}} $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites de sequências e entender como o fatorial $ n! $ e a potência $ 10^{6n} $ se comportam à medida que $ n $ cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir ou divergir. Uma sequência converge se ela se aproxima de um número específico conforme $ n $ aumenta. Se não se aproxima de nenhum número, dizemos que ela diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar os componentes da nossa sequência $ a_n = \frac{n!}{10^{6n}} $.
O fatorial $ n! $ cresce muito rápido conforme $ n $ aumenta. Por exemplo, $ 5! = 120 $, $ 10! = 3.628.800 $, e assim por diante.
Por outro lado, $ 10^{6n} $ também cresce muito rapidamente, pois é uma potência com base 10 elevada a $ 6n $. Isso significa que para cada incremento em $ n $, o denominador multiplica por $ 10^6 $ (ou seja, um milhão).
Passo 4
Para comparar o crescimento de $ n! $ e $ 10^{6n} $, vamos usar o teste do limite. Calculamos o limite de $ a_n $ quando $ n $ tende ao infinito:
Passo 5
Sabemos que $ n! $ cresce mais rápido que qualquer função exponencial de base fixa, mas no nosso caso, o denominador $ 10^{6n} $ é uma potência exponencial com uma base grande ($ 10^6 $).
Para entender melhor, vamos reescrever $ 10^{6n} $ como $ (106)n $. Agora, a sequência fica:
Passo 6
Apesar de $ n! $ crescer rápido, $ (106)n $ cresce ainda mais rápido porque a base da potência é muito grande (um milhão). Portanto, o denominador domina o numerador à medida que $ n $ aumenta.
Passo 7
Com isso, o limite da sequência é zero:
Isso significa que a sequência $ {a_n} $ converge e o limite é zero.
Resposta
A sequência $ {a_n} $ é convergente e o seu limite é igual a zero.