Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. (1,0)
Se f e g forem contínuas em [a, b], então
integrala^b[f(x) g(x)] d x=(integrala^b f(x) d x)(integrala^b g(x) d x)

Passo 1

A afirmação diz que para funções contínuas f e g em [a,b] valeria integrala^b f(x)g(x),dx = l(integrala^b f(x),dxr)l(integrala^b g(x),dxr). O conteúdo envolve propriedades de integração (linearidade, mas não multiplicatividade em geral).

Passo 2

Para mostrar que isso é falso, basta um contraexemplo. Tome f(x)=g(x)=x em [0,1]. Calculamos:
integral0^1 f(x)g(x),dx = integral0^1 x^2,dx = 13,
integral0^1 f(x),dx = integral0^1 x,dx = 12, integral0^1 g(x),dx = 12,
$$\Bigl(\int_0^1 f(x),dx\Bigr)\Bigl(\int_0^1 g(x),dx\Bigr) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4}.
$$
Como l(integral0^1 f(x),dxr)l(integral0^1 g(x),dxr) = 12cdot12 = 14 , a igualdade falha.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é f(x)=g(x)=x em [0,1], pois integral0^1 x^2,dx=1/3 e (integral0^1 x,dx)^2=1/4, logo não são iguais.

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