Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
e
forem contínuas em
, então
Se
Passo 1
A afirmação diz que para funções contínuas f e g em [a,b] valeria
. O conteúdo envolve propriedades de integração (linearidade, mas não multiplicatividade em geral).
Passo 2
Para mostrar que isso é falso, basta um contraexemplo. Tome f(x)=g(x)=x em [0,1]. Calculamos:
$$\Bigl(\int_0^1 f(x),dx\Bigr)\Bigl(\int_0^1 g(x),dx\Bigr) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4}.
$$
Como , a igualdade falha.
Como
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é f(x)=g(x)=x em [0,1], pois
e
, logo não são iguais.