Seja f: R R a função periódica de período 2 pi que satisfaz f(x)=|x| para x in(-pi, pi].
Esboce o gráfico da função f, exibindo no eixo x o intervalo de -3 pi a 3 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você precisa fazer aqui é esboçar o gráfico de uma função periódica $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ com período $ 2\pi $. Essa função é definida como $ f(x) = |x| $ no intervalo $ (-\pi, \pi] $. Então, vamos entender o que significa ser uma função periódica e como isso vai ajudar a desenhar o gráfico de $ -3\pi $ a $ 3\pi $.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte principal da função: $ f(x) = |x| $ no intervalo $ (-\pi, \pi] $. A função valor absoluto cria uma forma de “V”. No caso, no intervalo de $ -\pi $ a $ \pi $, o ponto mais baixo da “V” está em $ x = 0 $ e $ f(0) = 0 $. Nos extremos, em $ x = -\pi $ e $ x = \pi $, o valor de $ f(x) $ é $ \pi $.
Então, nesse intervalo, o gráfico vai começar em $ (-\pi, \pi) $, descendo até o ponto $ (0, 0) $, e subindo de volta até $ (\pi, \pi) $.

Passo 3

Agora, como a função é periódica com período $ 2\pi $, isso significa que esse padrão da “V” vai se repetir a cada $ 2\pi $ unidades ao longo do eixo $ x $. Ou seja, para desenhar de $ -3\pi $ a $ 3\pi $, vamos repetir essa forma de “V” várias vezes.

Passo 4

Vamos dividir o intervalo de $ -3\pi $ a $ 3\pi $ em segmentos de $ 2\pi $:
  • De $ -3\pi $ a $ -\pi $
  • De $ -\pi $ a $ \pi $
  • De $ \pi $ a $ 3\pi $
Em cada um desses intervalos, o gráfico será uma “V” que começa e termina em valores de $ f(x) = \pi $ nos pontos $ -\pi $, $ \pi $, e $ 3\pi $, com o ponto mais baixo em $ x = 0 $, $ x = -2\pi $, e $ x = 2\pi $ respectivamente.

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  1. Desenhe o eixo $ x $ de $ -3\pi $ a $ 3\pi $.
  2. Marque os pontos $ -3\pi $, $ -\pi $, $ 0 $, $ \pi $, e $ 3\pi $ no eixo.
  3. Em cada intervalo de $ 2\pi $, desenhe uma “V” com o ponto mais baixo em múltiplos de $ 2\pi $ (como $ -2\pi $, $ 0 $, $ 2\pi $) e os vértices das “V” em $ \pm\pi $, $ \pm3\pi $, etc.
  4. As “V” devem ter a mesma altura, atingindo $ f(x) = \pi $ nos pontos $ \pm\pi $, $ \pm3\pi $, etc.

Resposta

Pronto! Seguindo esses passos, você terá um gráfico composto por várias “V” repetidas a cada $ 2\pi $, estendendo-se de $ -3\pi $ a $ 3\pi $. Cada “V” tem seu ponto mais baixo em múltiplos de $ 2\pi $ e atinge $ f(x) = \pi $ nos pontos $ \pm\pi $, $ \pm3\pi $, e assim por diante.

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