Determine as derivadas abaixo.
f(x)=arctg(2 e^4 x).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para encontrar a derivada da função . Isso está relacionado ao estudo de derivadas, especificamente usando regras de derivação como a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções compostas e entender as derivadas das funções trigonométricas inversas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função composta que temos aqui. A função é uma composição de duas funções:
  • Uma função externa: , onde .
  • Uma função interna: .
Para derivar uma função composta, usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função externa em relação a ddu arctan(u) = 11 + u^2 . A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna dudx = 2 cdot 4 e^4x = 8 e^4x em relação a . A derivada de em relação a é , então:

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
f'(x) = 11 + u^2 cdot dudx
Substituindo f'(x) = 11 + (2 e^4x)^2 cdot 8 e^4x e :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
(2 e^4x)^2 = 4 e^8x
Então:
f'(x) = 8 e^4x1 + 4 e^8x

Resposta

A derivada de f'(x) = 8 e^4x1 + 4 e^8x é:

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