Encontre todos os pontos
tais que o plano tangente ao gráfíco de
no ponto
é paralelo ao plano
.
Passo 1
Neste exercício vamos encontrar todos os pontos (x₀,y₀) em que o plano tangente ao gráfico de f(x,y)=x³/3+y⁴ em (x₀,y₀,f(x₀,y₀)) fica paralelo ao plano 2x+2y−4z+5=0. O conteúdo envolve derivadas parciais, vetor normal ao plano tangente e condição de paralelismo entre planos.
Passo 2
Para montar o plano tangente, primeiro calculamos as derivadas parciais de f.
Passo 3
O vetor normal ao plano tangente em (x₀,y₀) é (f_x(x₀,y₀),f_y(x₀,y₀),−1). Para que esse plano seja paralelo ao dado 2x+2y−4z+5=0, seus normais devem ser proporcionais. Logo, existe λ tal que
$$
(f_x(x₀,y₀),f_y(x₀,y₀),-1)=
(f_x(x₀,y₀),f_y(x₀,y₀),-1)=
lambda,(2,2,-4).
$$
Passo 4
Comparando a componente z, temos −1=−4λ ⇒ λ=1/4. Então
Substituindo as derivadas:
Daí x₀=±1/√2 e y₀^3=1/8, ou seja y₀=1/2.
Resposta
Os pontos são
.