Encontre todos os pontos (x0, y0) in R^2 tais que o plano tangente ao gráfíco de f(x, y)=z^33+y^4 no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) é paralelo ao plano 2 x+2 y-4 z+5=0.

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar todos os pontos (x₀,y₀) em que o plano tangente ao gráfico de f(x,y)=x³/3+y⁴ em (x₀,y₀,f(x₀,y₀)) fica paralelo ao plano 2x+2y−4z+5=0. O conteúdo envolve derivadas parciais, vetor normal ao plano tangente e condição de paralelismo entre planos.

Passo 2

Para montar o plano tangente, primeiro calculamos as derivadas parciais de f.
fx(x,y)=x^2, fy(x,y)=4y^3

Passo 3

O vetor normal ao plano tangente em (x₀,y₀) é (f_x(x₀,y₀),f_y(x₀,y₀),−1). Para que esse plano seja paralelo ao dado 2x+2y−4z+5=0, seus normais devem ser proporcionais. Logo, existe λ tal que
$$
(f_x(x₀,y₀),f_y(x₀,y₀),-1)=
lambda,(2,2,-4).
$$

Passo 4

Comparando a componente z, temos −1=−4λ ⇒ λ=1/4. Então
fx(x₀,y₀)=2λ=tfrac12, fy(x₀,y₀)=2λ=tfrac12
Substituindo as derivadas:
x₀^2=tfrac12, 4y₀^3=tfrac12
Daí x₀=±1/√2 e y₀^3=1/8, ou seja y₀=1/2.

Resposta

Os pontos são l(pmtfrac1raiz2,,tfrac12r).

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