Seja f(x, y, z) uma função diferenciável tal que nabla f(1,1, cos (1))=(1,1,1).
Se G(u, v)=f((u+1) cos (v), 1, cos (u+v+1)), calcule nabla G(0,0).

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável f: R^3to R com nabla f(1,1,cos1)=(1,1,1) e define G(u,v)=fl((u+1)cos v,1,cos(u+v+1)r). Precisamos achar nabla G(0,0) usando a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Definimos as funções internas
x(u,v)=(u+1)cos v, y(u,v)=1 e z(u,v)=cos(u+v+1). Calculamos as derivadas parciais em (0,0):
  • xu(0,0)=cos0=1 e xv(0,0)=-(0+1)sin0=0.
  • yu=yv=0 pois y é constante.
  • zu(0,0)=zv(0,0)=-sin(0+0+1)=-sin1.

Passo 3

Pela regra da cadeia multivariada temos
partial Gpartial u=fx,xu+fy,yu+fz,zu e
partial Gpartial v=fx,xv+fy,yv+fz,zv.
Substituindo fx=fy=fz=1 e os valores de xu,xv,yu,yv,zu,zv em (0,0), obtemos
partial G/partial u=1cdot1+1cdot0+1cdot(-sin1)=1-sin1
partial G/partial v=1cdot0+1cdot0+1cdot(-sin1)=-sin1.

Resposta

nabla G(0,0)=(1-sin1,,-sin1)

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