Mostre que todas as soluções da EDO y^prime=-x y e^y^21+e^x^2 que cortam o eixo dos y são limitadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que todas as soluções da Equação Diferencial Ordinária (EDO) $ y’ = -x y \frac{e{y{2}}}{1 + e{x{2}}} $ que cortam o eixo dos $ y $ são limitadas. Isso envolve entender um pouco sobre EDOs e como analisar o comportamento das soluções delas. Vamos precisar usar conceitos de limites e crescimento de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma solução ser “limitada”. Uma função $ y(x) $ é limitada se existe um número real $ M $ tal que $ |y(x)| \leq M $ para todo $ x $ no domínio da função. Nosso objetivo é mostrar que, independente da solução específica da EDO que cruza o eixo dos $ y $, ela nunca cresce sem limite; ou seja, sempre estará dentro de um intervalo finito.

Passo 3

Vamos começar analisando a EDO dada:
y' = -x y e^y^21 + e^x^2
Notamos que o lado direito da equação depende tanto de $ x $ quanto de $ y $. Para estudar a limitação das soluções, podemos tentar encontrar estimativas para $ y’ $ que nos permitam controlar o crescimento de $ y $.

Passo 4

Observemos que o denominador $ 1 + e{x{2}} $ é sempre maior que 1, já que $ e{x{2}} \geq 0 $. Então, podemos afirmar que:
1 + e^x^2
Assim, a equação fica:
e^x^2 >= 0
Isso nos dá uma desigualdade inferior para $ y’ $.

Passo 5

Agora, vamos considerar o comportamento de $ y’ $. Se assumirmos que $ y $ é positivo, então $ y’ $ será negativo, indicando que $ y $ está diminuindo. Se $ y $ for negativo, $ e{y{2}} $ ainda é positivo, e o termo $ -x y $ pode ser positivo ou negativo dependendo do sinal de $ x $ e $ y $, mas o importante aqui é que o crescimento de $ y $ está controlado pela presença de $ e{y{2}} $, que cresce rapidamente.

Passo 6

Para garantir que $ y $ não cresça sem limites, precisamos ver que a taxa de variação $ y’ $ não permite que $ y $ alcance valores infinitamente grandes. A presença do termo $ e{y{2}} $ no denominador ajuda a “amortecer” o crescimento de $ y $, já que para $ y $ grande, $ e{y{2}} $ cresce rapidamente, fazendo com que $ y’ $ se torne muito pequeno em magnitude.

Passo 7

Além disso, como as soluções cortam o eixo dos $ y $, sabemos que existe um ponto $ x = 0 $ onde $ y $ assume algum valor inicial $ y(0) = y_0 $. A partir desse ponto, devido à forma da EDO, o comportamento de $ y $ é controlado pelo equilíbrio entre os termos $ -x y $ e $ e{y{2}} $. Esse equilíbrio impede que $ y $ cresça ou diminua indefinidamente, mantendo-a dentro de limites finitos.

Passo 8

Portanto, combinando essas observações, concluímos que todas as soluções da EDO dada que cruzam o eixo dos $ y $ serão limitadas, ou seja, existirão limites superiores e inferiores para $ y(x) $ em todo o domínio considerado.

Resposta

Todas as soluções da EDO $ y’ = -x y \frac{e{y{2}}}{1 + e{x{2}}} $ que cortam o eixo dos $ y $ são limitadas.

Exercícios relacionados