Encontre a função alpha(y)>0 para que a equação abaixo se transforme em uma Equação Exata.
alpha(y)(y^2 cos (x)+2 x y e^y)+alpha(y)(y sen(x)+y x^2 e^y-y) y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para achar uma função alpha(y)>0 que torne a equação
alpha(y)l(y^2cos x + 2xy e^yr)+alpha(y)l(ysin x + yx^2e^y-yr)y'=0
uma equação exata. O conteúdo aqui é fator integrante dependente só de y, e precisaremos usar a condição de exatidão
ddyl(alpha Mr)=ddxl(alpha Nr)
e a fórmula
alpha'alpha=Nx - MyM

Passo 2

A partir da forma M(x,y)+N(x,y)y'=0, temos
M(x,y)=alpha(y)l(y^2cos x +2xy e^yr),
N(x,y)=alpha(y)l(ysin x +yx^2e^y-yr)

Passo 3

Para fator integrante mu(y)=alpha(y) vale
alpha'alpha=Nx - MyM

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais ignorando momentaneamente o alpha:
P(x,y)=y^2cos x +2xy e^y,
Q(x,y)=ysin x +yx^2e^y-y
Então
Py=2ycos x +2xe^y+2xye^y,
Qx=ycos x +2xye^y

Passo 5

Substituindo em
alpha'alpha=Qx - PyP
temos
Qx - Py=-(ycos x +2xe^y),
P=y(ycos x +2xe^y),
portanto
alpha'alpha=-ycos x +2xe^yy(ycos x +2xe^y)=-1y

Passo 6

Integrando
dlnalphady=-1y
vem
lnalpha=-ln y +C
eu seja alpha(y)=Cy. Como qualquer constante apenas escala o fator integrante, escolhemos a forma simples
alpha(y)=1y>0

Resposta

alpha(y)=dfrac1y

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