Dado o PVI abaixo
l x y d yd x=x^2+y^2, x>0 y(1)=1
Encontre o intervalo máximo de soluções.

Passo 1

Começamos com o PVI dado:
x,y,dydx=x^2+y^2, x>0, y(1)=1
Esse problema cai em equação diferencial homogênea de 1ª ordem, pois ao escrever dy/dx só aparecem combinações de y/x. Vamos usar substituição para resolver.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x,y para pôr na forma padrão, a gente obtém
dydx=x^2x,y+y^2x,y=xy+yx

Passo 3

Definimos a substituição homogênea u=yx, logo y=u,x.
Pela regra do produto, dydx=u+xdudx
Substituindo na equação:
u + xdudx=1u+u

Passo 4

Isolando du/dx:
xdudx=1uLongrightarrow dudx=1u,x
Agora separamos variáveis:
u,du=dxx
Integramos dos dois lados e achamos a constante com a condição inicial u(1)=y(1)/1=1:
integral u,du=integraldxx Rightarrow u^22=ln|x|+C
Quando x=1, temos u^2/2=0+C e u=1, logo C=1/2

Passo 5

Voltando a y/x=u, obtemos
u^2=2ln x+1, y=x,u=xraiz2ln x+1
Escolhemos o sinal positivo no radical para manter y(1)=1>0.

Passo 6

Para a solução ser real, o radicando deve ser não negativo:
2ln x+1>=0 Longrightarrow ln x>=-tfrac12 Longrightarrow x>= e^-1/2
Como precisamos de um intervalo aberto que contenha o ponto inicial x=1 e onde a solução seja bem definida, o intervalo máximo de existência é (e^-1/2,infty).

Resposta

O intervalo máximo de soluções, contendo x=1, é (e^{-1/2}, ∞).

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