Resolva as equações:
y^(1)-4x y=x^5 e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem y' - tfrac4xy = x^5 e^x. O conteúdo é EDO linear de 1º ordem e vamos usar o método do fator integrante para transformá-la numa derivada exata.

Passo 2

Identificamos a forma padrão y' + P(x)y = Q(x) com P(x) = -tfrac4x. O fator integrante é dado por mu(x) = e^integral P(x),dx = e^-4ln x = x^-4. Multiplicamos toda a equação por x^-4:
x^-4y' - 4x^-5y = x^-4 cdot x^5 e^x = x e^x
O lado esquerdo agora é ddxl(x^-4yr).

Passo 3

Integramos os dois lados em relação a x. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
ddx(x^-4y) = x e^x Longrightarrow x^-4y = integral x e^x ,dx = x e^x - e^x + C
Aqui usamos integração por partes em integral x e^x dx, com u = x e dv = e^x dx.

Passo 4

Isolamos y multiplicando por x^4:
y = x^4(x e^x - e^x + C) = x^5 e^x - x^4 e^x + Cx^4
Essa é a solução geral da EDO dada.

Resposta

y = x^5 e^x - x^4 e^x + Cx^4

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