Dada a f(x)=x^33-2 x^2+3 x+1.
Determine a imagem da função dada.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a imagem (range) da função polinomial cúbica f(x)=tfracx^33-2x^2+3x+1. O conteúdo aqui é análise de polinômios de grau 3: vamos precisar estudar os extremos locais via derivada e o comportamento em xtopminfty.

Passo 2

Calcular a derivada para identificar pontos críticos:
f'(x)=ddxl(tfracx^33-2x^2+3x+1r)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)

Passo 3

Determinar onde f' muda de sinal para achar monotonia e verificar extremos locais. Observamos que:
  • Para x<1, f'(x)>0 (função crescente).
  • Para 1, f'(x)<0 (função decrescente) ⇒ extremo em x=1.
  • Para x>3, f'(x)>0 (função crescente) ⇒ extremo em x=3.

Passo 4

Calcular os valores de f nos pontos críticos para classificar os extremos:
f(1)=tfrac13-2+3+1=tfrac73(máximo local),á
f(3)=tfrac273-18+9+1=1(mínimo local)í

Passo 5

Analisar o comportamento nos extremos do domínio:
limxto-inftyf(x)=-infty, limxto+inftyf(x)=+infty

Passo 6

Como a função vai de -infty até seu máximo local 7/3, depois cai até seu mínimo local 1 e então cresce sem parar até +infty, o conjunto de valores assumidos cobre todos os reais.

Resposta

(-\infty,+\infty)

Exercícios relacionados