Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(b) ( ) Toda sequência limitada e convergente;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
© ( ) Toda sequência limitada é monótona;
(b) ( ) Toda sequência limitada e convergente;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
© ( ) Toda sequência limitada é monótona;
Passo 1
Estamos analisando duas afirmações sobre sequências: uma que envolve sequências limitadas e monotônicas e outra que afirma que toda sequência limitada é monotônica. O conteúdo principal é o Teorema da Convergência Monótona e conceitos de sequência limitada, monotonicidade e convergência.
Passo 2
Para a afirmação b: “Toda sequência limitada e monotônica é convergente”, aplicamos o Teorema da Convergência Monótona. Esse teorema diz que se uma sequência
é monótona (crescente ou decrescente) e limitada (existe um número real que serve de limite superior ou inferior), então
converge. Logo, a afirmação b é verdadeira.
Passo 3
Para a afirmação c: “Toda sequência limitada é monotônica”, basta apresentar um contraexemplo. Considere a sequência
. Note que ela é limitada, pois
para todo
. No entanto, não é monótona pois oscila entre
e
. Portanto, a afirmação c é falsa.
Resposta
b) V. Pelo Teorema da Convergência Monótona, toda sequência limitada e monotônica converge.
c) F. Exemplo: é limitada em
mas não é monotônica.
c) F. Exemplo: