Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(b) ( ) Toda sequência limitada e convergente;
25
Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
© ( ) Toda sequência limitada é monótona;

Passo 1

Estamos analisando duas afirmações sobre sequências: uma que envolve sequências limitadas e monotônicas e outra que afirma que toda sequência limitada é monotônica. O conteúdo principal é o Teorema da Convergência Monótona e conceitos de sequência limitada, monotonicidade e convergência.

Passo 2

Para a afirmação b: “Toda sequência limitada e monotônica é convergente”, aplicamos o Teorema da Convergência Monótona. Esse teorema diz que se uma sequência (an) é monótona (crescente ou decrescente) e limitada (existe um número real que serve de limite superior ou inferior), então (an) converge. Logo, a afirmação b é verdadeira.

Passo 3

Para a afirmação c: “Toda sequência limitada é monotônica”, basta apresentar um contraexemplo. Considere a sequência an = (-1)^n. Note que ela é limitada, pois -1 <= an <= 1 para todo n. No entanto, não é monótona pois oscila entre 1 e -1. Portanto, a afirmação c é falsa.

Resposta

b) V. Pelo Teorema da Convergência Monótona, toda sequência limitada e monotônica converge.
c) F. Exemplo: an = (-1)^n é limitada em [-1,1] mas não é monotônica.

Exercícios relacionados