Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(d) ( ) Toda sequência monótona é convergente;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(e) ( ) A soma de duas sequências divergentes é divergente;

Passo 1

No enunciado temos duas afirmações sobre sequências para decidir se são verdadeiras (V) ou falsas (F): (d) “Toda sequência monótona é convergente” e (e) “A soma de duas sequências divergentes é divergente”. Vamos usar o que sabemos sobre convergência de sequências para cada caso.

Passo 2

Para (d) lembre que o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas afirma: “Uma sequência monótona converge se e somente se for limitada.” A afirmação ignora o requisito de limitação. Por exemplo, a sequência definida por xn = n é monótona crescente ( xn+1 > xn para todo n ) mas não é limitada, logo diverge (vai a +infty). Portanto a afirmação é falsa.

Passo 3

Para (e) basta exibir duas sequências divergentes cuja soma converge. Por exemplo, tome xn = n e yn = -n. Ambas divergem em módulo para infinito, mas a soma é xn + yn = n + (-n) = 0, que converge trivialmente. Isso mostra que a soma de duas sequências divergentes pode convergir, logo a afirmação é falsa.

Resposta

d) F; e) F.

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