Sejam u e v vetores quaisquer do R^n. Prove:
u perp v Leftrightarrow|u+v|^2=|u|^2+|v|^2

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. O exercício nos pede para provar que dois vetores u perp v Leftrightarrow |u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 e em são perpendiculares ( ) se e só se a norma do vetor ao quadrado for igual à soma das normas de ao quadrado e ao quadrado. Ou seja, precisamos mostrar que:
Para isso, vamos usar conceitos de produto interno e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno de dois vetores u cdot v = sumi=1^n ui vi e u perp v Leftrightarrow u cdot v = 0 é dado por:
E que dois vetores são perpendiculares se o produto interno deles for zero:

Passo 3

Agora, vamos expandir a norma de |w| = raizw cdot w ao quadrado. A norma de um vetor |u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v) é definida como:
Então, a norma de ao quadrado é:

Passo 4

Vamos calcular o produto interno de (u + v) cdot (u + v) = u cdot u + u cdot v + v cdot u + v cdot v com ele mesmo:
u cdot u + 2(u cdot v) + v cdot v
Como o produto interno é comutativo ( ), podemos simplificar:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da norma:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2(u cdot v) + |v|^2
Queremos que isso seja igual a . Para isso, o termo precisa ser zero.

Passo 6

Então, para que:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2
É necessário que:
2(u cdot v) = 0 Rightarrow u cdot v = 0
E isso é exatamente a condição de e serem perpendiculares.

Resposta

Portanto, mostramos que se e somente se . A equivalência está comprovada.

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