Sejam
e
vetores quaisquer do
. Prove:
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. O exercício nos pede para provar que dois vetores
e
em
são perpendiculares (
) se e só se a norma do vetor
ao quadrado for igual à soma das normas de
ao quadrado e
ao quadrado. Ou seja, precisamos mostrar que:
Para isso, vamos usar conceitos de produto interno e norma de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto interno de dois vetores
e
é dado por:
E que dois vetores são perpendiculares se o produto interno deles for zero:
Passo 3
Agora, vamos expandir a norma de
ao quadrado. A norma de um vetor
é definida como:
Então, a norma de
ao quadrado é:
Passo 4
Vamos calcular o produto interno de
com ele mesmo:
Como o produto interno é comutativo (
), podemos simplificar:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da norma:
Queremos que isso seja igual a
. Para isso, o termo
precisa ser zero.
Passo 6
Então, para que:
É necessário que:
E isso é exatamente a condição de
e
serem perpendiculares.
Resposta
Portanto, mostramos que
se e somente se
. A equivalência está comprovada.