Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(h) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(i) ( ) Se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge;
(h) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(i) ( ) Se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge;
Passo 1
Resumo do enunciado: temos duas afirmações sobre sequências numéricas. A afirmação (h) diz que “toda sequência divergente é não limitada” e a (i) diz que “se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge”. O conteúdo envolve conceitos de convergência, divergência, limite, sequência limitada e subsequência.
Passo 2
Definimos que uma sequência é limitada se existe um número
tal que
para todo
. Dizemos que
converge para
se, para todo
, existe
tal que
sempre que
. Se não existe nenhum
que funcione, a sequência é divergente. Note que ‘divergente’ significa apenas ‘não converge’, sem garantir que os termos fiquem sem limite.
Passo 3
Para (h), procuramos uma sequência que não converja mas permaneça limitada. Considere
. Os termos alternam entre
e
, logo
e a sequência é limitada. No entanto, não existe
tal que
, pois os termos não se aproximam de nenhum único valor. Assim, (h) é falsa.
Passo 4
Definimos agora subsequência: é uma sequência da forma
com índices
. Uma subsequência converge se satisfaz a mesma definição de limite, mas considerando apenas os índices
.
Passo 5
Para (i), basta outro exemplo: a mesma sequência
tem a subsequência dos termos pares
, que converge para
. Mesmo assim, a sequência original não converge. Logo, ter uma subsequência convergente não garante que a sequência completa convirja, e (i) é falsa.
Resposta
(h) Falsa; (i) Falsa.