Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(h) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(i) ( ) Se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge;

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas afirmações sobre sequências numéricas. A afirmação (h) diz que “toda sequência divergente é não limitada” e a (i) diz que “se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge”. O conteúdo envolve conceitos de convergência, divergência, limite, sequência limitada e subsequência.

Passo 2

Definimos que uma sequência é limitada se existe um número M>0 tal que |xn|<= M para todo n. Dizemos que xn converge para L se, para todo varepsilon>0, existe N tal que |xn-L| sempre que n>= N. Se não existe nenhum L que funcione, a sequência é divergente. Note que ‘divergente’ significa apenas ‘não converge’, sem garantir que os termos fiquem sem limite.

Passo 3

Para (h), procuramos uma sequência que não converja mas permaneça limitada. Considere xn = (-1)^n. Os termos alternam entre 1 e -1, logo |xn|<=1 e a sequência é limitada. No entanto, não existe L tal que xnto L, pois os termos não se aproximam de nenhum único valor. Assim, (h) é falsa.

Passo 4

Definimos agora subsequência: é uma sequência da forma (xnk) com índices n1. Uma subsequência converge se satisfaz a mesma definição de limite, mas considerando apenas os índices nk.

Passo 5

Para (i), basta outro exemplo: a mesma sequência xn = (-1)^n tem a subsequência dos termos pares x2k = 1, que converge para 1. Mesmo assim, a sequência original não converge. Logo, ter uma subsequência convergente não garante que a sequência completa convirja, e (i) é falsa.

Resposta

(h) Falsa; (i) Falsa.

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