Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
© ( ) Toda sequência limitada é monótona;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(d) ( ) Toda sequência monótona é convergente;
© ( ) Toda sequência limitada é monótona;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(d) ( ) Toda sequência monótona é convergente;
Passo 1
Estamos com duas afirmações envolvendo sequência limitada, sequência monótona e convergência. Precisamos lembrar das definições:
- Uma sequência é limitada se existe um número real M tal que
para todo . - Uma sequência é monótona se é sempre crescente (
) ou sempre decrescente ( ). - Convergência significa que existe um limite finito
tal que .
Passo 2
Para a afirmação ©: “Toda sequência limitada é monótona.”
Uma sequência pode ficar presa num intervalo sem seguir só para cima ou só para baixo. Por exemplo, considere
Essa sequência satisfaz
, logo é limitada. Mas ela não é crescente nem decrescente, porque oscila entre
e
. Portanto a afirmação é falsa.
Passo 3
Para a afirmação (d): “Toda sequência monótona é convergente.”
Uma sequência monotona sem estar presa em um intervalo pode divergir para infinito. Por exemplo,
que é crescente (monótona) mas não se aproxima de nenhum número finito:
. Logo não converge no sentido usual. Portanto a afirmação é falsa.
Resposta
© F (d) F