Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
© ( ) Toda sequência limitada é monótona;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(d) ( ) Toda sequência monótona é convergente;

Passo 1

Estamos com duas afirmações envolvendo sequência limitada, sequência monótona e convergência. Precisamos lembrar das definições:
  • Uma sequência é limitada se existe um número real M tal que |an| <= M para todo n.
  • Uma sequência é monótona se é sempre crescente ( an <= an+1) ou sempre decrescente ( an >= an+1).
  • Convergência significa que existe um limite finito L tal que an to L.

Passo 2

Para a afirmação ©: “Toda sequência limitada é monótona.”
Uma sequência pode ficar presa num intervalo sem seguir só para cima ou só para baixo. Por exemplo, considere
an = (-1)^n
Essa sequência satisfaz |an| = 1, logo é limitada. Mas ela não é crescente nem decrescente, porque oscila entre 1 e -1. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 3

Para a afirmação (d): “Toda sequência monótona é convergente.”
Uma sequência monotona sem estar presa em um intervalo pode divergir para infinito. Por exemplo,
an = n,
que é crescente (monótona) mas não se aproxima de nenhum número finito: an to +infty. Logo não converge no sentido usual. Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

© F (d) F

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