Calcule as integrais:
integral duplaR^mu y sen(x y) d A onde R=[1,2] times[0, pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR ysin(xy),dA no retângulo R=[1,2]times[0,pi]. O conteúdo é integral dupla e vamos usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e facilitar o cálculo.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
integral duplaR ysin(xy),dA= integraly=0^pil(integralx=1^2y,sin(xy),dxr)dy
Aqui tratamos y como constante na integral interna em x.

Passo 3

Dentro da integral interna fazemos
integralx=1^2y,sin(xy),dx=yintegral1^2sin(xy),dx
Como y é constante, basta usar a primitiva de sin(xy) em relação a x:
integralsin(xy),dx=-1ycos(xy)
Multiplicando por y temos
yintegral1^2sin(xy),dx=-cos(xy)|x=1^x=2=-cos(2y)+cos(y)=cos(y)-cos(2y)

Passo 4

Agora substituímos na integral em y:
integral duplaR ysin(xy),dA=integral0^pil[cos(y)-cos(2y)r]dy
Separando em duas integrais:
integral0^picos(y),dy-integral0^picos(2y),dy

Passo 5

Calcule cada parte:
  • Para integral0^picos(y),dy, a primitiva é sin(y), então
    sin(y)|0^pi=sin(pi)-sin(0)=0-0=0
  • Para integral0^picos(2y),dy, a primitiva é tfrac12sin(2y), então
    tfrac12sin(2y)|0^pi=tfrac12[sin(2pi)-sin(0)]=0-0=0

Passo 6

Somando os resultados, obtemos
0-0=0,
logo a integral dupla vale zero.

Resposta

0

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