Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(f) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(g) ( ) Se uma sequência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero;

Passo 1

A questão pede que verifiquemos a veracidade de duas afirmações sobre sequências numéricas: (f) “Toda sequência divergente é não monótona” e (g) “Se uma sequência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero”. Vamos usar definições de divergir, ser monótona e convergir para analisar cada caso.

Passo 2

Para (f), lembramos que uma sequência divergente é simplesmente uma sequência que não converge a nenhum limite finito, e uma sequência monótona é aquela que é sempre crescente ou sempre decrescente. Basta apresentar uma sequência monótona que diverge para ver que a afirmação cai por terra. Por exemplo, considere an = n. Ela é monótona crescente e diverge para +infty. Isso mostra que existe sequência divergente e monótona, logo a afirmação (f) é falsa.

Passo 3

Para (g), note que se xn converge para um limite L e há infinitos índices n tais que xn=0, então precisamos ter L=0. Suponha, por contradição, que Lneq0. Defina varepsilon=|L|/2>0. Como xnto L, existe N tal que para todo n>= N vale
|xn - L| < varepsilon
Mas se algum desses xn for zero, teríamos
|0 - L| = |L| >= varepsilon,
contradizendo a desigualdade acima. Portanto só resta L=0, e a afirmação (g) é verdadeira.

Resposta

(f) F; (g) V

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