Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(f) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(g) ( ) Se uma sequência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(g) ( ) Se uma sequência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero;
Passo 1
A questão pede que verifiquemos a veracidade de duas afirmações sobre sequências numéricas: (f) “Toda sequência divergente é não monótona” e (g) “Se uma sequência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero”. Vamos usar definições de divergir, ser monótona e convergir para analisar cada caso.
Passo 2
Para (f), lembramos que uma sequência divergente é simplesmente uma sequência que não converge a nenhum limite finito, e uma sequência monótona é aquela que é sempre crescente ou sempre decrescente. Basta apresentar uma sequência monótona que diverge para ver que a afirmação cai por terra. Por exemplo, considere
. Ela é monótona crescente e diverge para
. Isso mostra que existe sequência divergente e monótona, logo a afirmação (f) é falsa.
Passo 3
Para (g), note que se
converge para um limite
e há infinitos índices
tais que
, então precisamos ter
. Suponha, por contradição, que
. Defina
. Como
, existe
tal que para todo
vale
Mas se algum desses
contradizendo a desigualdade acima. Portanto só resta
, e a afirmação (g) é verdadeira.
Resposta
(f) F; (g) V