Discuta a convergência das séries, apresentando os argumentos e justificativas pertinentes:
sumn=2^infty 1n(ln n)^1.01

Passo 1

O exercício pede para discutir a convergência da série sumn=2^infty 1n(ln n)^1.01. O conteúdo principal é testes de convergência de séries, em especial o teste da integral. Vamos usar esse teste porque ele se aplica bem a termos que envolvem ln n.

Passo 2

Definimos a função f(x)=1x(ln x)^1.01 para x>=2. Observamos que f(x)>0, é contínua em [2,infty) e, para x>e, ln x>1 e f'(x)<0, ou seja, f(x) é decrescente a partir de x=2. Logo, podemos aplicar o teste da integral, que afirma que a série e a integral imprópria
integral2^infty f(x),dx
têm comportamento de convergência equivalente.

Passo 3

Para calcular a integral, fazemos a substituição u=ln x, de modo que du=dxx. Assim,
integral2^infty dxx(ln x)^1.01 = integralln2^infty u^-1.01,du

Passo 4

Agora avaliamos a integral imprópria de u^-1.01. Como o expoente 1.01>1, temos
integralln2^infty u^-1.01,du = limAtoinfty [u^-0.01-0.01]ln2^A = (ln2)^-0.010.01 < infty

Passo 5

Como a integral converge (ou seja, dá um valor finito), o teste da integral garante que a série também converge.

Resposta

A série sumn=2^infty 1n(ln n)^1.01 converge.

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