Discuta a convergência das séries, apresentando os argumentos e justificativas pertinentes:
Passo 1
O exercício pede para discutir a convergência da série
. O conteúdo principal é testes de convergência de séries, em especial o teste da integral. Vamos usar esse teste porque ele se aplica bem a termos que envolvem
.
Passo 2
Definimos a função
para
. Observamos que
, é contínua em
e, para
,
e
, ou seja,
é decrescente a partir de
. Logo, podemos aplicar o teste da integral, que afirma que a série e a integral imprópria
têm comportamento de convergência equivalente.
Passo 3
Para calcular a integral, fazemos a substituição
, de modo que
. Assim,
Passo 4
Agora avaliamos a integral imprópria de
. Como o expoente
, temos
Passo 5
Como a integral converge (ou seja, dá um valor finito), o teste da integral garante que a série também converge.
Resposta
A série
converge.