Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares (utilize o Exerc. 29).
(a) rho=theta, theta in[0, pi];
(b) rho=1+cos theta, theta in[0, pi4].

Passo 1

Temos curvas em coordenadas polares: (a) rho=theta para thetain[0,pi] e (b) rho=1+costheta para thetain[0,pi/4]. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de curva em coordenadas polares:
L=integrala^braizrho(theta)^2+l(rho'(theta)r)^2,dtheta

Passo 2

Para (a), temos rho(theta)=theta, então rho'(theta)=1. Inserindo na fórmula:
L=integral0^piraiztheta^2+1,dtheta
Para resolver, usamos a integral padrão
integralraiztheta^2+1,dtheta =theta2raiztheta^2+1 +12lnl(theta+raiztheta^2+1r)
Avaliando de 0 a pi obtemos
L=[theta2raiztheta^2+1+12lnl(theta+raiztheta^2+1r)]0^pi =pi2raizpi^2+1+12lnl(pi+raizpi^2+1r)

Passo 3

Para (b), rho(theta)=1+costheta, logo rho'(theta)=-sintheta. O integrando fica
raiz(1+costheta)^2+sin^2theta =raiz2+2costheta =2raiz1+costheta2 =2costheta2,
pois em [0,pi/4] cos(theta/2)>=0. Então
L=integral0^pi/42costheta2,dtheta
Fazendo u=theta/2, dtheta=2,du, os limites vão de 0 a pi/8, e
L=4integral0^pi/8cos u,du =4sin u|0^pi/8 =4sinpi8

Resposta

(a) L=pi2raizpi^2+1+12lnl(pi+raizpi^2+1r); (b) L=4sintfracpi8.

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