Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(k) ( ) Toda sequência decrescente limitada é convergente e seu limite é zero;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(l) ( ) Se uma sequência
diverge, então
também diverge;
(k) ( ) Toda sequência decrescente limitada é convergente e seu limite é zero;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(l) ( ) Se uma sequência
Passo 1
Temos dois itens para analisar: (k) diz que toda sequência decrescente limitada (isto é, monotonicamente decrescente e com limite inferior finito) é convergente e seu limite é zero; (l) diz que se uma sequência
diverge, então também diverge
. Vamos usar teoria de convergência monotônica e definição de divergência para cada caso.
Passo 2
Para o item (k), aplicamos o Teorema da Convergência Monótona: toda sequência monotonicamente decrescente e limitada inferiormente converge para algum limite
. Porém, o teorema não garante que
; garante apenas existência de limite finito.
Para mostrar que (k) é falsa, basta um contraexemplo. Considere . Então
, ou seja, é decrescente, e é limitada inferiormente por
. Mas
Para mostrar que (k) é falsa, basta um contraexemplo. Considere
Passo 3
Para o item (l), basta lembrar que divergência de
não implica divergência de
. Um exemplo clássico é
, pois
oscila e não converge, mas
que é uma sequência constante e, portanto, convergente.
Assim, ambos os itens (k) e (l) são falsos.
Resposta
(k) F; (l) F