Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(k) ( ) Toda sequência decrescente limitada é convergente e seu limite é zero;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(l) ( ) Se uma sequência an diverge, então |an| também diverge;

Passo 1

Temos dois itens para analisar: (k) diz que toda sequência decrescente limitada (isto é, monotonicamente decrescente e com limite inferior finito) é convergente e seu limite é zero; (l) diz que se uma sequência an diverge, então também diverge lvert anrvert. Vamos usar teoria de convergência monotônica e definição de divergência para cada caso.

Passo 2

Para o item (k), aplicamos o Teorema da Convergência Monótona: toda sequência monotonicamente decrescente e limitada inferiormente converge para algum limite L. Porém, o teorema não garante que L=0; garante apenas existência de limite finito.
Para mostrar que (k) é falsa, basta um contraexemplo. Considere an = 1 + tfrac1n. Então an+1 = 1 + tfrac1n+1 < 1 + tfrac1n = an, ou seja, é decrescente, e é limitada inferiormente por 1. Mas
limntoinfty an = limntoinftyl(1 + tfrac1nr) = 1 neq 0

Passo 3

Para o item (l), basta lembrar que divergência de an não implica divergência de lvert anrvert. Um exemplo clássico é an = (-1)^n, pois an oscila e não converge, mas
lvert anrvert = 1 para todo n,
que é uma sequência constante e, portanto, convergente.
Assim, ambos os itens (k) e (l) são falsos.

Resposta

(k) F; (l) F

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