Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
§ ( ) Se
é convergente, então
também converge;
39
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(1)
§ ( ) Se
39
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(1)
Passo 1
Resumimos a questão: temos duas partes, uma sobre uma afirmação de convergência de sequências e outra pedindo o limite de
. O conteúdo é convergência de sequências e vamos usar definição de limite, teorema do produto de limites e propriedades de limites.
Passo 2
Para o item §, lembramos que se duas sequências
e
convergem para
e
, então
. Aqui
não converge (oscila entre
e
), portanto não podemos garantir que
converge, tornando a afirmação falsa.
Basta um contraexemplo para mostrar a falsidade: seja para todo
. Então
mas
não tem limite (oscila), mostrando que a afirmação falha.
Basta um contraexemplo para mostrar a falsidade: seja
Passo 3
No item (1), temos
Para encontrar o limite, dividimos numerador e denominador por
Tomando
, os termos
e
vão a zero, ficando o limite igual a
. Portanto a sequência converge para
.
Resposta
A afirmação § é falsa, conforme o contraexemplo dado. A sequência do item (1) converge e seu limite é
.