Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
§ ( ) Se an é convergente, então (-1)^n an também converge;
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(1) an=3+5 n^2n+n^2

Passo 1

Resumimos a questão: temos duas partes, uma sobre uma afirmação de convergência de sequências e outra pedindo o limite de an=3+5n^2n+n^2. O conteúdo é convergência de sequências e vamos usar definição de limite, teorema do produto de limites e propriedades de limites.

Passo 2

Para o item §, lembramos que se duas sequências xn e yn convergem para Lx e Ly, então xn yn to Lx Ly. Aqui yn=(-1)^n não converge (oscila entre 1 e -1), portanto não podemos garantir que (-1)^n an converge, tornando a afirmação falsa.
Basta um contraexemplo para mostrar a falsidade: seja an=1 para todo n. Então anto1 mas (-1)^n an=(-1)^n não tem limite (oscila), mostrando que a afirmação falha.

Passo 3

No item (1), temos
an = 3+5n^2n+n^2
Para encontrar o limite, dividimos numerador e denominador por n^2, o maior grau em n. Após dividir, obtemos
an = 3/n^2 + 51/n + 1
Tomando ntoinfty, os termos 3/n^2 e 1/n vão a zero, ficando o limite igual a 5/1 = 5. Portanto a sequência converge para 5.

Resposta

A afirmação § é falsa, conforme o contraexemplo dado. A sequência do item (1) converge e seu limite é 5.

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