Discuta a convergência das seguintes sequências,apresentando os argumentos e justificativas pertinentes. No caso de convergência, para onde convergem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente discutir se a sequência $ a_{n} = \cos(n \pi) $ converge ou não. Isso está relacionado ao estudo de sequências numéricas e seus comportamentos à medida que $ n $ aumenta. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência convergir e como a função cosseno se comporta com múltiplos de $ \pi $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência convergente. Uma sequência converge se os seus termos se aproximam de um único número conforme $ n $ cresce indefinidamente. Ou seja, existe um número $ L $ tal que, para qualquer proximidade escolhida, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de $ L $ conforme aumentamos $ n $.
Passo 3
Agora, vamos analisar a sequência $ a_{n} = \cos(n \pi) $. Sabemos que o cosseno de múltiplos de $ \pi $ segue um padrão específico:
- Quando $ n $ é par, $ \cos(n \pi) = \cos(2k\pi) = 1 $.
- Quando $ n $ é ímpar, $ \cos(n \pi) = \cos((2k+1)\pi) = -1 $.
Aqui, $ k $ é um número inteiro.
Passo 4
Então, a sequência se comporta assim:
- $ a_{1} = \cos(\pi) = -1 $
- $ a_{2} = \cos(2\pi) = 1 $
- $ a_{3} = \cos(3\pi) = -1 $
- E assim por diante…
Isso significa que a sequência alterna entre
e
infinitamente.
Passo 5
Para verificar a convergência, precisamos ver se os termos da sequência estão se aproximando de um único número. Mas, no nosso caso, os termos estão constantemente alternando entre
e
, sem se estabilizar em um único valor.
Passo 6
Como a sequência não se aproxima de nenhum número específico e continua oscilando entre dois valores distintos, podemos concluir que ela não converge.
Resposta
A sequência $ a_{n} = \cos(n \pi) $ não converge, pois seus termos alternam entre
e
indefinidamente sem se estabilizar em um único valor.