Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(m) ( ) Se a sequência |an| converge, então an também converge;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(n) ( ) Se a sequência |an| converge para zero, então an também converge para zero;

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que a questão pede: temos duas proposições sobre a convergência de uma sequência an comparando com a convergência de |an|. O assunto aqui é definição de convergência de sequência e uso de propriedades do valor absoluto.

Passo 2

Analisando a afirmação (m): “Se |an| converge, então an também converge.” Essa afirmação é falsa. Um contra­exemplo clássico é a sequência
an = (-1)^n
|an| = |(-1)^n| = 1
para todo n, logo |an| converge (para 1). Mas an oscila entre 1 e -1 e não converge.

Passo 3

Agora a afirmação (n): “Se |an| converge para zero, então an também converge para zero.” Essa é verdadeira. De fato, definir convergência significa:
forall varepsilon>0, exists N tal que n>= N implies |an - L|
Aqui queremos L=0. Se |an|to0, então existe N tal que para n>= N temos
|,|an| - 0,| = |an| < varepsilon
Mas isso é exatamente
|an - 0| < varepsilon,
logo anto0.

Resposta

(m) F; (n) V

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