Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(m) ( ) Se a sequência
converge, então
também converge;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(n) ( ) Se a sequência
converge para zero, então
também converge para zero;
(m) ( ) Se a sequência
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(n) ( ) Se a sequência
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que a questão pede: temos duas proposições sobre a convergência de uma sequência
comparando com a convergência de
. O assunto aqui é definição de convergência de sequência e uso de propriedades do valor absoluto.
Passo 2
Analisando a afirmação (m): “Se
converge, então
também converge.” Essa afirmação é falsa. Um contraexemplo clássico é a sequência
Aí
para todo
, logo
converge (para 1). Mas
oscila entre 1 e -1 e não converge.
Passo 3
Agora a afirmação (n): “Se
converge para zero, então
também converge para zero.” Essa é verdadeira. De fato, definir convergência significa:
Aqui queremos
. Se
, então existe
tal que para
temos
Mas isso é exatamente
logo
.
Resposta
(m) F; (n) V