Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(g) ( ) Se uma sequência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(h) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se uma sequência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(h) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
Passo 1
O enunciado pede para julgar duas afirmações sobre sequências numéricas: em (g) temos uma sequência convergente que possui infinitos termos iguais a zero, e em (h) a afirmação de que toda sequência divergente é não limitada.
Passo 2
Para (g), lembre que uma sequência convergente tem limite único. Suponha que a sequência
convirja para
e que haja infinitos índices
tais que
. Então a sub-sequência
também converge, e seu limite é o mesmo
. Mas como
para todo
, o limite desta sub-sequência é zero. Logo
e a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Para (h), uma sequência divergente é apenas aquela que não converge. Isso não impede que seja limitada. Por exemplo,
não converge (oscila entre
e
), logo é divergente, mas toma valores somente em
, sendo limitada. Portanto a afirmação é falsa e este é um contraexemplo.
Resposta
g) Verdadeira; h) Falsa