Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(g) ( ) Se uma sequência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero;
30
Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(h) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;

Passo 1

O enunciado pede para julgar duas afirmações sobre sequências numéricas: em (g) temos uma sequência convergente que possui infinitos termos iguais a zero, e em (h) a afirmação de que toda sequência divergente é não limitada.

Passo 2

Para (g), lembre que uma sequência convergente tem limite único. Suponha que a sequência (an) convirja para L e que haja infinitos índices nk tais que ank=0. Então a sub-sequência (ank) também converge, e seu limite é o mesmo L. Mas como ank=0 para todo k, o limite desta sub-sequência é zero. Logo L=0 e a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Para (h), uma sequência divergente é apenas aquela que não converge. Isso não impede que seja limitada. Por exemplo, an = (-1)^n não converge (oscila entre +1 e -1), logo é divergente, mas toma valores somente em -1,1, sendo limitada. Portanto a afirmação é falsa e este é um contraexemplo.

Resposta

g) Verdadeira; h) Falsa

Exercícios relacionados