Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(3) an=3^n 7^-n
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(5) an=e^-1 / raizn

Passo 1

Temos duas sequências para analisar: (3) an = 3^n 7^-n e (5) an = e^-1/raizn. O conteúdo aqui envolve limites de sequência geométrica e propriedades de funções exponenciais. Vamos usar que, se |r|<1, então limntoinftyr^n=0, e que, sendo f(x)=e^x contínua, lim e^xn=e^lim xn quando (x_n\to L.

Passo 2

Para a sequência (3), reescrevemos an como
an = 3^n 7^-n = l(tfrac37r)^n
Aqui a razão é r=3/7. Como |r|=3/7<1, pela propriedade da sequência geométrica temos
limntoinftyan = limntoinftyl(tfrac37r)^n = 0

Passo 3

Para a sequência (5), note que o expoente
xn = -1raizn
tende a 0 quando ntoinfty. Como e^x é contínua,
limntoinftyan = limntoinftye^xn = e^limntoinftyxn = e^0 = 1

Resposta

A sequência (3) converge para 0 e a sequência (5) converge para 1.

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