Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(8)
46
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(9)
(8)
46
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(9)
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência das duas sequências e, se convergirem, determinar seus limites. O conteúdo é limite de sequência numérica, e vamos precisar usar propriedades de crescimento de funções (ou sequências) e simplificação de fatoriais.
Passo 2
Vamos analisar a sequência
Para estudar o limite, olhamos primeiro o valor absoluto:
$$
|a_n| = \frac{n}{n^2+1} = \frac{1}{n + \frac1n}.
$$
Como quando
, segue que
. Pelo teorema do confronto, se o módulo vai a zero, então a própria sequência vai a zero. Portanto
.
Como
Passo 3
Agora a sequência
Usamos a definição de fatorial para simplificar:
$$
(2n+1)! = (2n+1)(2n)(2n-1)!\quad\Longrightarrow\quad b_n = \frac{(2n-1)!}{(2n+1)(2n)(2n-1)!} = \frac{1}{2n(2n+1)}.
b_n = \frac{1}{2n(2n+1)}.
$$
Quando , o denominador cresce como
, logo
.
Quando
Resposta
(8) A sequência converge e o limite é 0.
(9) A sequência converge e o limite é 0.
(9) A sequência converge e o limite é 0.