Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(8) an=(-1)^n-1 nn^2+1
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(9) an=(2 n-1)!(2 n+1)!

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência das duas sequências e, se convergirem, determinar seus limites. O conteúdo é limite de sequência numérica, e vamos precisar usar propriedades de crescimento de funções (ou sequências) e simplificação de fatoriais.

Passo 2

Vamos analisar a sequência
an = (-1)^n-1nn^2+1
Para estudar o limite, olhamos primeiro o valor absoluto:
$$
|a_n| = \frac{n}{n^2+1} = \frac{1}{n + \frac1n}.
$$
Como |an| = nn^2+1 = 1n + 1n quando n + 1ntoinfty, segue que ntoinfty. Pelo teorema do confronto, se o módulo vai a zero, então a própria sequência vai a zero. Portanto |an|to0.

Passo 3

Agora a sequência
bn = (2n-1)!(2n+1)!
Usamos a definição de fatorial para simplificar:
$$
(2n+1)! = (2n+1)(2n)(2n-1)!\quad\Longrightarrow\quad b_n = \frac{(2n-1)!}{(2n+1)(2n)(2n-1)!} = \frac{1}{2n(2n+1)}.
(2n+1)! = (2n+1)(2n)(2n-1)!Longrightarrow bn = (2n-1)!(2n+1)(2n)(2n-1)! = 12n(2n+1) ã
b_n = \frac{1}{2n(2n+1)}.
$$
Quando bn = 12n(2n+1) , o denominador cresce como ntoinfty, logo 4n^2.

Resposta

(8) A sequência converge e o limite é 0.
(9) A sequência converge e o limite é 0.

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