Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. (vale 1,0 cada item)
a) Se
for um polinômio, então
b) Se
e
, então
a) Se
b) Se
Passo 1
Resumindo, temos duas afirmações envolvendo limites de funções. O conteúdo principal é:continuidade de polinômios para (a) e comportamento de somas e diferenças de funções que divergem para
em (b). Vamos usar que polinômios são contínuos e que, quando duas funções tendem a
, não há garantia de cancelamento na diferença.
Passo 2
Analisando (a): “Se
for um polinômio, então
.”
Polinômios são formados por somas, produtos e potências de com coeficientes constantes. Cada operação preserva continuidade. Logo, todo polinômio é contínuo em
. Pela definição de continuidade em um ponto
, temos
Polinômios são formados por somas, produtos e potências de
Portanto, a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisando (b): “Se
e
, então
.”
Limites infinitos não são números finitos; dizer que duas funções divergem para não implica que elas cresçam na mesma “taxa”. Como exemplo, considere para
:
Limites infinitos não são números finitos; dizer que duas funções divergem para
Então
mas
Isso mostra que a diferença pode divergir, e não tender a zero. Logo, (b) é falsa.
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Falsa.
(b) Falsa.