Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. (vale 1,0 cada item)
a) Se p for um polinômio, então lim x b p(x)=p(b)
b) Se lim x 0 f(x)=infty e lim x 0 p(x) stackrelx b= infty, então lim x 0[f(x)-p(x)]=0

Passo 1

Resumindo, temos duas afirmações envolvendo limites de funções. O conteúdo principal é:continuidade de polinômios para (a) e comportamento de somas e diferenças de funções que divergem para +infty em (b). Vamos usar que polinômios são contínuos e que, quando duas funções tendem a +infty, não há garantia de cancelamento na diferença.

Passo 2

Analisando (a): “Se p for um polinômio, então limxto bp(x)=p(b).”
Polinômios são formados por somas, produtos e potências de x com coeficientes constantes. Cada operação preserva continuidade. Logo, todo polinômio é contínuo em R. Pela definição de continuidade em um ponto b, temos
limxto bp(x)=p(b)
Portanto, a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando (b): “Se limxto 0f(x)=infty e limxto 0p(x)=infty, então limxto 0[f(x)-p(x)]=0.”
Limites infinitos não são números finitos; dizer que duas funções divergem para +infty não implica que elas cresçam na mesma “taxa”. Como exemplo, considere para xto0^+:
f(x)=1x, p(x)=2x
Então
limxto0^+f(x)=+infty, limxto0^+p(x)=+infty,
mas
f(x)-p(x) =1x-2x =-1x longrightarrow -inftyneq 0
Isso mostra que a diferença pode divergir, e não tender a zero. Logo, (b) é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Falsa.

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