Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
O comprimento da curva x=f(t) e y=g(t), a <= t <= b é integrala^b raiz[f^prime(t)]^2+[g^prime(t)]^2 d t.

Passo 1

O enunciado afirma que, para a curva paramétrica
x=f(t), y=g(t), a<= t<= b,
o seu comprimento é
integrala^braizl[f'(t)r]^2+l[g'(t)r]^2;dt
Esse é um resultado clássico de cálculo de curvas paramétricas, que une diferencial e integral.

Passo 2

Para que essa fórmula valha, precisamos supor que
  1. f e g sejam de classe C^1 em [a,b], ou ao menos absolutamente contínuas com derivadas f' e g' integráveis;
  2. Definimos o comprimento da curva como o supremo das somas dos comprimentos de segmentos de reta que a aproximam.

Passo 3

Sejam a=t0<t1<cdots<tn=b uma partição de [a,b]. A soma aproximada de comprimentos é
S(P)=sumi=1^nraizl(f(ti)-f(ti-1)r)^2+l(g(ti)-g(ti-1)r)^2
Pelo Teorema do Valor Médio existe xiiin(ti-1,ti) tal que
f(ti)-f(ti-1)=f'(xii),(ti-ti-1), g(ti)-g(ti-1)=g'(xii),(ti-ti-1)
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raizl(f(ti)-f(ti-1)r)^2+l(g(ti)-g(ti-1)r)^2 =raizf'(xii)^2+g'(xii)^2,De<a ti

Passo 4

Como f' e g' são contínuas, numa partição cujo diâmetro tende a zero, podemos aproximar raizf'(xii)^2+g'(xii)^2 por raizf'(ti)^2+g'(ti)^2. Assim a soma S(P) é exatamente uma soma de Riemann para a função
tmapstoraizf'(t)^2+g'(t)^2,
e, no limite refinando a partição,
lim|P|to0S(P) =integrala^braizf'(t)^2+g'(t)^2;dt

Resposta

A afirmação é verdadeira desde que f e g sejam de classe C^1 (ou absolutamente contínuas com derivadas integráveis) em [a,b].
A demonstração usa o Teorema do Valor Médio para passar das diferenças De<a f, De<a g a De<a t e, em seguida, a definição de integral como limite das somas de Riemann.

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