Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
O comprimento da curva
e
é
.
O comprimento da curva
Passo 1
O enunciado afirma que, para a curva paramétrica
o seu comprimento é
Esse é um resultado clássico de cálculo de curvas paramétricas, que une diferencial e integral.
Passo 2
Para que essa fórmula valha, precisamos supor que
-
e sejam de classe em , ou ao menos absolutamente contínuas com derivadas e integráveis; - Definimos o comprimento da curva como o supremo das somas dos comprimentos de segmentos de reta que a aproximam.
Passo 3
Sejam
uma partição de
. A soma aproximada de comprimentos é
Pelo Teorema do Valor Médio existe
tal que
Logo
Passo 4
Como
e
são contínuas, numa partição cujo diâmetro tende a zero, podemos aproximar
por
. Assim a soma
é exatamente uma soma de Riemann para a função
e, no limite refinando a partição,
Resposta
A afirmação é verdadeira desde que
e
sejam de classe
(ou absolutamente contínuas com derivadas integráveis) em
.
A demonstração usa o Teorema do Valor Médio para passar das diferenças ,
a
e, em seguida, a definição de integral como limite das somas de Riemann.
A demonstração usa o Teorema do Valor Médio para passar das diferenças