Questão 3.
Seja
e considere a operação
em
. Determine se a operação * sobre
é comutativa, associativa, se admite elemento neutro e quais elementos são simetrizáveis.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a operação
Precisamos verificar:
- Se
é comutativa. - Se
é associativa. - Se existe elemento neutro em
. - Quais elementos admitem simétrico (inverso).
Passo 2
Para ver se
é comutativa, comparamos
e
:
Como a soma em
é comutativa,
, segue
Logo,
é comutativa.
Passo 3
Para testar associatividade, calculamos
e
:
Como ambos dão
, a operação é associativa.
Passo 4
Procuramos
tal que para todo
valha
Basta resolver
Verificamos também
. Logo, o elemento neutro é
.
Passo 5
Dado
, o simétrico
deve satisfazer
Isso é
Como
está em
para todo
, todo elemento é simetrizável.
Resposta
A operação
em
é comutativa e associativa, admite elemento neutro
e todos os elementos são simetrizáveis, com inverso de
dado por
.