Questão 3. (2,0) Seja E=Z e considere a operação x * y=x+y+1 em E. Determine se a operação * sobre E é comutativa, associativa, se admite elemento neutro e quais elementos são simetrizáveis.

Passo 1

O enunciado define o conjunto E=Z com a operação
x * y = x + y + 1
Precisamos verificar:
  1. Se * é comutativa.
  2. Se * é associativa.
  3. Se existe elemento neutro em E.
  4. Quais elementos admitem simétrico (inverso).

Passo 2

Para ver se * é comutativa, comparamos x*y e y*x:
x * y = x + y + 1,
y * x = y + x + 1
Como a soma em Z é comutativa, x+y = y+x, segue
x*y = y*x
Logo, * é comutativa.

Passo 3

Para testar associatividade, calculamos (x*y)*z e x*(y*z):
(x*y)*z = (x + y + 1) + z + 1 = x + y + z + 2,
x*(y*z) = x + (y + z + 1) + 1 = x + y + z + 2
Como ambos dão x+y+z+2, a operação é associativa.

Passo 4

Procuramos einZ tal que para todo x valha
x * e = x e e * x = x
Basta resolver
x + e + 1 = x ;Longrightarrow; e + 1 = 0 ;Longrightarrow; e = -1
Verificamos também e*x = -1 + x + 1 = x. Logo, o elemento neutro é
e = -1.

Passo 5

Dado x, o simétrico x' deve satisfazer
x * x' = e = -1
Isso é
x + x' + 1 = -1 ;Longrightarrow; x' = -1 -1 - x = -x - 2
Como -x-2 está em Z para todo xinZ, todo elemento é simetrizável.

Resposta

A operação * em Z é comutativa e associativa, admite elemento neutro e=-1 e todos os elementos são simetrizáveis, com inverso de x dado por x'=-x-2.

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