Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} n^{n} x^{n}
\sum_{n=1}^{\infty} n^{n} x^{n}
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência
e o intervalo de convergência da série
Vamos usar o Teste da Raiz (Cauchy–Hadamard), que diz que
para a série
.
Passo 2
Aqui temos
. Calculamos
Passo 3
O teste da raiz exige que
para haver convergência. Mas
é
-
se e somente se , -
para qualquer .
Logo, não há nenhumque satisfaça para grandes .
Passo 4
Isso implica que
Portanto o raio de convergência é
, e o único ponto de convergência é
.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é apenas
.