Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} n^{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série
sumn=1^inftyn^nx^n
Vamos usar o Teste da Raiz (Cauchy–Hadamard), que diz que
R = 1limsupntoinftyraiz[n]|an|
para a série sum an x^n.

Passo 2

Aqui temos an = n^n. Calculamos
raiz[n]|an x^n| = raiz[n]n^n,|x|^n = n,|x|

Passo 3

O teste da raiz exige que
limntoinftyn,|x| < 1
para haver convergência. Mas limntoinftyn,|x| é
  • 0 se e somente se |x|=0,
  • +infty para qualquer |x|>0.
    Logo, não há nenhum |x|>0 que satisfaça n|x|<1 para grandes n.

Passo 4

Isso implica que
limsupntoinftyraiz[n]n^n = infty Longrightarrow R = 1infty = 0
Portanto o raio de convergência é R=0, e o único ponto de convergência é x=0.

Resposta

O raio de convergência é R=0 e o intervalo de convergência é apenas 0.

Exercícios relacionados